Циссоида Диокла

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по ${\displaystyle OX}$, а ось ординат по ${\displaystyle OY}$, на отрезке ${\displaystyle OA=2a}$, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке ${\displaystyle A}$ проводится касательная ${\displaystyle UV}$. Из точки ${\displaystyle O}$ проводится произвольная прямая ${\displaystyle OF}$, которая пересекает окружность в точке ${\displaystyle E}$ и касательную в точке ${\displaystyle F}$. От точки ${\displaystyle F}$, в направлении точки ${\displaystyle O}$, откладывается отрезок ${\displaystyle FM}$, длина которого равна длине отрезка ${\displaystyle OE}$. При вращении линии ${\displaystyle OF}$ вокруг точки ${\displaystyle O}$, точка ${\displaystyle M}$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)}$

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

${\displaystyle \rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.}$

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

${\displaystyle \rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=}$

${\displaystyle =2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=}$

${\displaystyle =2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).}$

Параметрическое уравнение циссоиды:

${\displaystyle x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},}$ ${\displaystyle y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},}$

где

${\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\varphi }$.

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка ${\displaystyle P}$, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ${\displaystyle E}$; ось симметрии — диаметр ${\displaystyle BD}$. Из точки ${\displaystyle P}$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка ${\displaystyle M}$, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой ${\displaystyle OE}$. Этим методом Диокл построил только кривую ${\displaystyle DOB}$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (${\displaystyle DOB}$) замкнуть дугой окружности ${\displaystyle EAD}$, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — κισσός («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

• Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
• Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$, которые принадлежат диаметру этой окружности.
• Циссоида имеет один касп и асимптоту ${\displaystyle UV}$, уравнение которой: ${\displaystyle x=2a}$, где ${\displaystyle a}$ — радиус вспомогательной окружности.
• Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.^[1]

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

${\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.}$

Объём тела вращения

Объём (${\displaystyle V_{1}}$) тела, образованного при вращении ветви ${\displaystyle OL}$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

${\displaystyle V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=}$

${\displaystyle =\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=}$

${\displaystyle =\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.}$

Если ${\displaystyle x\to 2a}$, то ${\displaystyle \ln(2a-x)\to -\infty }$, то есть ${\displaystyle V_{1}\to \infty }$.

Примечания

Литература

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
• Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 53—56 с. — ISBN 0-486-60288-5.
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Эта страница в последний раз была отредактирована 28 декабря 2023 в 20:52.