Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Эллиптический интеграл

Из Википедии — свободной энциклопедии

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

,

где  — рациональная функция двух аргументов,  — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней,  — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда имеет кратные корни или когда многочлены в не содержат нечётных степеней .

Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).

Энциклопедичный YouTube

  • 1/5
    Просмотров:
    13 805
    15 199
    523
    2 448
    25 952
  • ✪ Несобственные интегралы первого рода. Тема
  • ✪ Пример решения тройного интеграла в цилиндрических координатах - bezbotvy
  • ✪ Интегралы, сводящиеся к себе. Ответы
  • ✪ Лекция 1 | Jacobian Conjecture | Николай Вавилов | Лекториум
  • ✪ Calculate integral and double integral numerically (C++)

Субтитры

Для того чтобы представлять, что такое несобственный интеграл ... ... для начала нужно вспомнить, что такое определенный интеграл. Допустим, нам нужно проинтегрировать функцию f(x), с наглядной точки зрения ... ... это означает, что нам нужно вычислить площадь вот такой криволинейной трапеции. А теперь давайте предположим, что у нас правый предел интегрирования уходит на бесконечность. То есть возникает такая криволинейная трапеция, у которой бесконечное основание. Вот это и есть несобственный интеграл первого рода. Определение его вот каково ... Интеграл от а до +∞ -- это предел от определенного интеграла в конечных пределах от а до b. При том, что мы предполагаем, что верхний предел интегрирования стремится к +∞. Это определение несобственного интеграла первого рода. В некоторых случаях оказывается, что такой интеграл существует и конечен ... ... а в некоторых случаях этот предел оказывается бесконечным ... ... тогда говорят, что этот несобственный интеграл, соответственно, либо сходится,либо расходится. Пример на эту тему. Интеграл от 1 до +∞ ... Подынтегральная функция 1/х. Если действовать по определению, которое мы только что дали ... ... мы должны вычислить предел от определенного интеграла в пределах от 1 до b. При этом верхний предел интегрирования b стремится к + ∞. Дальнейшие все выкладки мы проводим под знаком предела -- это совершенно несложные ... ... выкладки, потому что сам интеграл элементарный. Это табличный интеграл, который дает ln|x| в подстановке от 1 до b. Опять-таки под знаком предела выполняем эту самую подстановку ... Получаем lnb-ln1, ln1 -- это 0 ... ... что касается lnb, если b бесконечно возрастает, тут нет никакой неопределенности ... ... дело в том, что логарифм -- это возрастающая функция, если аргумент логарифма растет, то ... ... и сам логарифм тоже бесконечно растет. Что мы выяснили? Что вот этот несобственный интеграл -- интеграл от 1 до +∞ (dх/х) ... ... это расходящийся интеграл. Возьмем еще один пример. Вот здесь подынтегральная функция 1/(х^2), попробуем исследовать этот интеграл ... ... во-первых, опять-таки, строго по определению, мы должны взять предел ... ... от определенного интеграла в конечном промежутке от 1 до b ... ... но при этом b стремится к +∞. Это тоже совсем не сложный интеграл. Выполняя все действия под знаком предела, мы сразу же получаем первообразную -- это (-1/х) ... ... и применяем к этой первообразной подстановку от 1 до b ... ... минус можно вынести из-под знака предела ... ... там уже возникает такая подстановка (1/b-1). Что здесь происходит, когда b бесконечно растет? первое слагаемое дает 0 в пределе ... ... итого сам предел дает -1, и с учетом еще одного минуса получается 1. Выводы вот какие: этот несобственный интеграл, который мы исследовали ... ... это сходящийся интеграл, и его значение равно 1. Теперь, если посмотреть на эти две подынтегральные функции ... ... сначала мы вычисляли интеграл от 1/x, а затем от 1/х^2, они ... ... вообще говоря, мало чем отличаются друг от друга. Каков график функции 1/х? Вообще это две ветви гиперболы, но нас будет интересовать одна ее ветвь ... ... эта кривая проходит через 1 ... ... асимптотически приближаясь к вертикальной оси и горизонтальной тоже. Когда мы вычисляли этот интеграл ... ... фактически, первый из этих двух интегралов, мы вычислили площадь вот такой ... криволинейной трапеции с бесконечным основанием. Как выглядит 1/x^2? Очень похожим образом. То есть, если рисовать ее аккуратно, с точностью, до десятых долей ... ... то мы получим некоторые отличия, но характер поведения точно такой же, кривая проходит через 1 ... ... асимптотически приближаясь к вертикальной и горизонтальной оси и везде убывает выпукло вниз. Во втором случае мы вычислили площадь вот такой фигуры. При всей похожести этих двух кривых оказывается, что они ведут себя, в принципе, по-разному. Дело в том , что вторая кривая, она гораздо плотнее и гораздо быстрее примыкает к горизонтальной оси ... ... поэтому площадь во втором случае конечная и равна 1. А эта кривая не настолько быстро примыкает к горизонтальной оси. Оказывается, что площадь вот этой фигуры бесконечна.

Содержание

История

В интегральном исчислении эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно, а позднее — Леонардом Эйлером.

Обозначения

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

  •  — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой );
  •  — модуль эллиптического интеграла;
  •  — параметр.

Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля (и модулярного угла ). Их область определения

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

  • где  — эллиптическая функция Якоби;
  •  — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что зависит также и от . Несколько дополнительных уравнений связывают с другими параметрами:

и

Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

  •  — дополнительный параметр;
  •  — дополнительный модуль;
  •  — дополнительный модулярный угол.

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода определяется как

,

или, в форме Якоби,

.

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

.

Частные случаи

;
;
;
;


Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как

или, используя подстановку

Частные случаи

;
;
;
;


Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода определяется как

или

Число называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла стремится к бесконечности для любых .

Гиперболический случай

(0 < c < m)

Введём дополнительные обозначения:

;
;
;
;
;
полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

Тогда можно записать эллиптический интеграл через тета-функции Якоби:

где

и

(c > 1)

С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как

Введём дополнительно величину

Тогда:

Круговой случай

(m < c < 1)

Введем дополнительные обозначения:

Тогда эллиптический интеграл равен:

где

и

(c < 0)

С помощью подстановки этот случай сводится к предыдущему, так как

Введем дополнительно величину

Тогда:

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

или

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

что эквивалентно выражению

где обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

Частные случаи

Производная полного эллиптического интеграла 1-го рода

где — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, определённый в следующем разделе.

Дифференциальное уравнение

Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением дифференциального уравнения

Вторым решением этого уравнения является

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода

В случае, если амплитуда нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

или

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

что эквивалентно выражению

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

Частные случаи

Производная полного эллиптического интеграла 2-го рода

Дифференциальное уравнение

Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения

Вторым решением этого уравнения является функция

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

или

Гиперболический случай

(0 < c < m)

,

где  — дзета-функция Якоби.

(c > 1)

Круговой случай

(m < c < 1)

где  — лямбда-функция Хеймана.

(c < 0)

Частные производные

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)

Дзета-функция Якоби

Лямбда-функция Хеймана

или

См. также

Литература

Ссылки

  • Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Мир, 1979. (См. гл. 17).
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
  • Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13).
  • Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптический функций. (гл. 3, 7).
  • Эллиптические функции (недоступная ссылка), Процедуры для Matlab.
Эта страница в последний раз была отредактирована 23 июля 2019 в 09:47.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).