Лемниската Жероно

Лемниска́та Жероно́, или лемниската Гюйгенса — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению ${\displaystyle \textstyle x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})}$.

Получила свое название в честь французского математика Камиля-Кристофа Жероно, который описал её свойства в своем учебнике по геометрии, изданном в Париже в 1854 г.

Уравнение кривой в плоских координатах: ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {a^{2}x^{2}-x^{4}}{a^{2}}}}}$.

Лемниската Жероно является уникурсальной кривой, поэтому может быть описана в параметрическом виде через рациональные функции:

${\displaystyle x=a{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ \ y=a{\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}}$.

Также параметрический вид через тригонометрические функции:

${\displaystyle x=a\cos(t),\ \ y=a\sin(t)\cos(t)=a\sin(2t)/2,}$

или

${\displaystyle x=a\cos(\omega t),\ \ y=b\sin(\omega t)\cos(\omega t)=b\sin(2\omega t)/2}$

и является одной из фигур Лиссажу с удвоенной частотой колебаний по оси ${\displaystyle y}$ относительно колебаний по оси ${\displaystyle x}$ и нулевым сдвигом фаз.

Построения

При помощи программы GNU Octave

Лемниската Жероно может быть построена с помощью GNU Octave — свободной программной системы для математических вычислений, использующей совместимый с MATLAB язык высокого уровня.

Следующий код, выполняемый в GNU Octave, позволяет построить график лемнискаты Жероно:

a = 1
t=linspace(0,2*pi,1000);

x = a * cos (t)
y = a * sin (2 .* t) / 2
plot(x,y,"b",'LineWidth', 2)

% plot X and Y axis
x=[-1.5*a, 1.5*a]; y=[0, 0]; line(x,y)
x=[0, 0]; y=[-1, 1]; line(x,y)

axis([-1.5*a,1.5*a,-a,a],"equal")

grid on

Результат работы для a=1 приведён в начальной части статьи.

Для построяения кривой используется параметрическая форма расчета координат x и y.

При помощи программы Sage Math

Построение лемнискаты Жероно в Sage, используя неявно заданную функцию.

Лемниската Жероно задается с помощью уравнения ${\displaystyle \textstyle x^{4}-a^{2}(x^{2}-y^{2})=0}$. По умолчанию принимается значение ${\displaystyle a=1}$

## Лемниската Жероно
## x^4=a^2*(x^2-y^2)

a=1
var('x y')
pl=implicit_plot(x^4-(a^2)*(x^2-y^2), (x,-a,a), (y,-a,a),linewidth=2, gridlines=True,frame=False,axes=True)
pl.show()

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Кривая Вивиани

Ссылки

• Словарь плоских кривых (англ.).
• Lemniscate de Gerono (фр.).

Литература

• Артоболевский И. И. Механизмы в современной технике. — Т. 2. — Изд. 7-е. — М.: Наука, 1979.

Эта страница в последний раз была отредактирована 18 января 2024 в 21:07.