Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Уравнение четвёртой степени

Из Википедии — свободной энциклопедии

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.
График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени

Корни уравнения четвёртой степени связаны с коэффициентами следующим образом:

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.[3]

Решения

Решение через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

сводится к решению кубической резольвенты

Корни резольвенты связаны с корнями исходного уравнения (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между и вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при )

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

сделаем подстановку , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

где

Корни такого уравнения равны одному из следующих выражений:

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

причём  — это корни кубического уравнения

Решение Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида может быть найдено по методу Феррари. Если  — произвольный корень кубического уравнения

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение[4] — уравнение четвёртой степени вида , где  — заданные комплексные числа и . Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой оно сводится к квадратному уравнению относительно .

Четыре его корня находятся по формуле

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду:

,

После замены ищется решение квадратного уравнения , а затем — квадратного уравнения .

Примечания

  1. Ferrari biography
  2. «Великое искусство» (Ars magna, 1545)
  3. Стюарт, Ян. Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
  4. В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида

Литература

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 17 августа 2021 в 07:49.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).