Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Треугольник Серпинского

Из Википедии — свободной энциклопедии

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году[1]. Также известен как «салфетка» Серпинского.

Построение

Итеративный метод

Построение треугольника Серпинского
Мозаичный пол в стиле косматеско в Кафедральном соборе Св. Марии в Ананьи

Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника .
2. Вероятностное пространство разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка .
4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
1. Генерируется случайное число .
2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
3. Строится точка с новыми координатами: , где:
 — координаты предыдущей точки ;  — координаты активной точки-аттрактора.
5. Возврат к началу цикла.

Построение на JavaScript

Это нерекурсивный метод построения

Картинка, генерируемая кодом на JavaScript
var k=Math.sqrt(3)/2; var S=16; var H=512; var W=Math.floor(H/k);
document.body.innerHTML=('<canvas id="C" width="'+W+'" height="'+H+'"></canvas>');
var canvas = document.getElementById('C');
var ctx = canvas.getContext('2d');
ctx.fillRect(0, 0, W, H);
for(var x = 0;x<=Math.floor(W/2);x++) {
  for(var y = 0;y<H;y++) {
    var A = y;          var a = A%S;
    var B = y/2+x*k;    var b = B%S;
    var C = y/2-x*k;    var c = C%S;
    if(a>b&&C>0&&B>0) {
      if ((B/S)&(C/S)) ctx.fillStyle='#ff0';
      else ctx.fillStyle='#000';
    } else if(a<b&&C>0&&B>0) {
      ctx.fillStyle='#0f8';
    } else ctx.fillStyle='#fff';
    ctx.fillRect(Math.floor(W/2)-x, y, 1, 1);
    if (x!=0) ctx.fillRect(Math.floor(W/2)+x, y, 1, 1);
  }
}

Построение на C#

Построение на C# в консоли с помощью треугольника Паскаля:

using System;

namespace Serpinski 
{ 
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            Console.Write("Power of 2: ");
            int depth = Convert.ToInt32(Math.Pow(2d, Convert.ToDouble(Console.ReadLine())));

            int[][] pascaltriangle = new int[depth][];
            for (int i = 0; i < pascaltriangle.Length; i++)
            {
                pascaltriangle[i] = new int[depth];
                for (int j = 0; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    pascaltriangle[i][j] = 0;
                pascaltriangle[i][0] = 1;
                pascaltriangle[i][i] = 1;
            }

            for (int i = 1; i < pascaltriangle.Length; i++)
                for (int j = 1; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    pascaltriangle[i][j] = (pascaltriangle[i - 1][j - 1] + pascaltriangle[i - 1][j]) % 2;

            for (int i = 0; i < pascaltriangle.Length; i++)
            {
                for (int j = 0; j < pascaltriangle[i].Length; j++)
                    Console.Write(pascaltriangle[i][j] == 1 ? "#" : " ");
                Console.WriteLine();
            }
            
            Console.Write("Press any key to continue...");
            Console.ReadKey();
        }
    }
}

Свойства

  • Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
  • Треугольник Серпинского замкнут.
  • Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
  • Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
  • Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность . В частности,

Факты

Римская мозаика 3 — 4 столетия в античном музее города Арль, Франция

См. также

Примечания

  1. W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 160, Janvier - Juin 1915. - Pp. 302 – 305. - [1]Архивная копия от 6 августа 2020 на Wayback Machine
  2. Bilotta, Eleonora; Pantano, Pietro (Summer 2005), "Emergent patterning phenomena in 2D cellular automata", Artificial Life, 11 (3): 339–362, doi:10.1162/1064546054407167, PMID 16053574, S2CID 7842605.
  3. Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 −56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8. [2] Архивная копия от 19 февраля 2018 на Wayback Machine
  4. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
  5. 1 2 The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856. [3]
  6. Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. — [4]
  7. Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -[5]

Литература

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 26 января 2024 в 14:29.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).