Двойственная кривая

Двойственная кривая (или дуальная кривая) к заданной кривой на проективной плоскости — это кривая на двойственной проективной плоскости, состоящая из касательных к заданной гладкой кривой. В этом случае кривые называются взаимно двойственными (дуальными). Понятие может быть обобщено для негладких кривых и на многомерное пространство.

Двойственные кривые являются геометрическим выражением преобразования Лежандра в гамильтоновой механике.

Двойственная проективная плоскость

Точки и прямые на проективной плоскости играют симметричные роли по отношению друг к другу: для любой проективной плоскости ${\displaystyle P}$ можно рассмотреть двойственную проективную плоскость ${\displaystyle P^{*}}$, в которой точками по определению являются прямые исходной плоскости ${\displaystyle P}$. В этом случае прямым плоскости ${\displaystyle P^{*}}$ будут соответствовать точки ${\displaystyle P}$, а отношение инцидентности будет то же самое с точностью до перестановки аргументов.

Определение

Пусть дана гладкая кривая ${\displaystyle C}$ на проективной плоскости ${\displaystyle P}$ . Рассмотрим множество всех её касательных ${\displaystyle C^{*}}$. Это множество можно рассмотреть как множество точек двойственной плоскости ${\displaystyle P^{*}}$. Оно будет образовывать кривую (не обязательно гладкую) в ${\displaystyle P^{*}}$, которая называется двойственной кривой к ${\displaystyle C}$^[1].

Из-за симметрии между пространством и двойственным пространством, кривой, двойственной к кривой в ${\displaystyle P^{*}}$ (то есть к однопараметрическому семейству прямых в ${\displaystyle P}$), будет кривая в ${\displaystyle P}$. Эта кривая называется огибающей семейства прямых^[2].

Пример

Рассмотрим эллипс, заданный уравнением ${\displaystyle (x/2)^{2}+(y/3)^{2}=1}$ (см. рисунок). Касательными к нему будут прямые, заданные уравнениями ${\displaystyle \alpha x+\beta y=1}$, где ${\displaystyle (2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1}$. Таким образом, двойственная к этому эллипсу кривая задаётся уравнением ${\displaystyle (2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1}$ в координатах ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$.

Свойства

Двойственные кривые обладают следующими свойствами^[1][3]:

• Кривая, двойственная к двойственной кривой, будет исходной кривой: ${\displaystyle (C^{*})^{*}=C}$.
• Если исходная кривая — кривая второго порядка, то двойственная ей кривая тоже будет второго порядка.
• Каждой двойной касательной (то есть касательной к двум точкам) исходной кривой соответствует точка самопересечения двойственной кривой.
• Каждой точке перегиба исходной кривой соответствует точка возврата двойственной кривой.

Связь с преобразованиями Лежандра

Двойственные кривые применяются для описания преобразований Лежандра в гамильтоновой механике. А именно, преобразование Лежандра — это переход от кривой к двойственной кривой, записанный в аффинных координатах. Это связано со следующим свойством: график строго выпуклой функции двойственен графику преобразования Лежандра для этой функции^[1].

Параметризация

Для параметрически заданной кривой двойственная кривая определяется уравнениями^[4]:

${\displaystyle X={\frac {y'}{yx'-xy'}}}$

${\displaystyle Y={\frac {x'}{xy'-yx'}}}$

Обобщения

Негладкие кривые

Понятие двойственности можно обобщить для ломаных и вообще для негладких кривых, если вместо касательных рассматривать опорные прямые. Прямая на плоскости называется опорной к кривой, если она содержит точку кривой, но при этом вся кривая лежит в одной полуплоскости от этой прямой. Для гладких кривых единственной опорной прямой, проходящей через данную точку кривой, является касательная к этой кривой. Таким образом, можно обобщить понятия двойственности для негладких кривых: двойственной кривой к произвольной кривой называется множество её опорных прямых.

Множество опорных прямых для ломаной также образует ломаную: опорные прямые, проходящие через вершины исходной ломаной, образуют отрезок двойственной плоскости. Эта ломаная называется двойственной ломаной. Её вершины получаются из отрезков исходной ломаной^[1]. В частности, двойственным к многоугольнику будет многоугольник, который называется двойственным многоугольником^[en].

Двойственная гиперповерхность

Понятие двойственности можно обобщить и на проективное пространство произвольной размерности. Двойственным проективным пространством называется пространство, состоящее из гиперплоскостей исходного пространства.

Для заданной выпуклой гиперповерхности в проективном пространстве множество гиперплоскостей, опорных к этой гиперповерхности, называется двойственной гиперповерхностью^[1].

Примеры

Пусть дана окружность, заданная в некоторой системе координат уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Касательной к окружности в точке ${\displaystyle (a,b)}$, где ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$, является прямая ${\displaystyle ax+by=1}$. Координатами этой прямой в двойственной системе координат будет пара ${\displaystyle (a,b)}$. Таким образом, двойственной кривой к окружности будет множество точек двойственной кривой с координатами ${\displaystyle (a,b)}$, где ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$, то есть опять окружность.

В более общем случае, если в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ задана норма, то в сопряжённом пространстве ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}^{*}}$ можно рассмотреть сопряжённую норму^[en]. Каждой точке ${\displaystyle p}$ пространства ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}^{*}}$ соответствует гиперплоскость, заданная уравнением ${\displaystyle px=1}$. Оказывается, что поверхность, сопряжённая единичной сфере в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (в смысле заданной нормы), является двойственной к единичной сфере в двойственном пространстве в смысле сопряжённой нормы^[1].

Так, например, куб — это «сфера» в смысле равномерной нормы (${\displaystyle L^{\infty }}$). Норма, сопряжённая ${\displaystyle L^{\infty }}$, является ${\displaystyle L^{1}}$-нормой. Следовательно, поверхностью, двойственной к кубу, будет «сфера» в ${\displaystyle L^{1}}$, то есть октаэдр.

Более того, двойственной поверхностью к многограннику будет двойственный многогранник.

См. также

• Огибающая

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 14 марта 2021 в 14:18.