Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Если точка x отклоняется менее чем на от значения c, f(x) отклоняется не более чем на от L
Определение предела в терминах и («эпсилон–дельта-определение предела») — это формализация понятия предела. Концепция принадлежит Огюстену Луи Коши, который не дал формальное определение предела в терминах и в своём труде Cours d'Analyse[en], хотя использовал время от времени и в доказательствах. Первым дал формальное определение Бернард Больцано в 1817 году, а современную формулировку дал Карл Вейерштрасс[1][2]. Он дал точную формулировку следующему неформальному определению: зависимое выражение стремится к значению L при стремлении переменнойx к значению c, если значение можно сделать сколь угодно близким к значению L путём выбора x достаточно близкого к c.
Энциклопедичный YouTube
1/5
Просмотров:
33 199
17 698
156 556
315
55 174
Определение предела функции на эпсилон-дельта языке 1
Определение предела на языке эпсилон-дельта 2
✓ Предел функции. Определение предела функции "по Коши" и "по Гейне" | матан #014 | Борис Трушин
Про епсилон-дельта определения.
20. Предел функции в точке, определение по Гейне и по Коши.
Субтитры
Здравствуйте!
Для начала давайте нарисуем график функции, предел которой нам надо будет найти.
Итак, вот ось у, а вот ось х.
Теперь изобразим нашу функцию.
Допустим, это будет прямая и какая-то точка не входит в значения функции.
Например, эта точка не входит в значения функции.
Координаты данной точки: х=а, как вы поняли, это ось х, а это ось у, у=f(x).
Нет, это будет просто ось у.
А сам график мы обозначим как f(x), у=f(х).
У нас уже было много видео, посвященных пределам.
И я думаю, вы уже догадываетесь, что нужно делать.
Если я спрошу у вас:
«Чему равен предел данной функции при х стремящемся к а?» Что вы мне ответите?
Давайте отметим, что в этой точке у=L.
Итак, что мы можем сказать по этому поводу,
используя знания, полученные на предыдущих уроках?
Давайте для начала запишем предел.
Предел f(х) при х стремящемся к а.
Что значит эта запись?
Если х стремится к а слева, то к чему стремится функция f(x)?
Если х здесь, то f(x) находится вот здесь.
А если х здесь, то f(x) уже вот здесь.
Как вы видите, при х стремящемся к а, f(x) стремится к L.
Так получается в случае, если х стремится к а слева.
А что же будет, если х будет стремится к а справа?
Вы ведь заметили, что мы записали одно выражение
для предела слева и для предела справа.
В обоих случаях значения пределов одинаковые.
Поэтому нам достаточно одного предела.
Но все-таки, к чему будет стремиться функция, если х будет стремиться к а справа?
Итак, если х здесь, то f(x) вот здесь.
А если х здесь, то f(x) вот здесь.
А значит, при х стремящемся к а, функция f(x) стремится к L.
Таким образом, здесь мы можем записать,
что предел функции f(x) при х стремящемся к а равен L.
Да, на интуитивном уровне, возможно, так оно и есть.
Но это не совсем точно, если брать во внимание,
что мы подразумеваем под пределом.
Мы выяснили только то, что, если х стремится к а,
то функция f(x) стремится к L.
На этом уроке я приведу более строгое с математической точки зрения определение предела.
А не просто: если х стремится к а, то f(x) стремится к какому-то значению.
Давайте рассмотрим это определение.
Исходя из вот этого выражения,
я могу придавать х любые значения, которые больше а.
Я не говорю сейчас об области определения.
Я имею в виду, что если мы берем какое-то значение х,
которое находится на некотором расстоянии от а,
то я могу гарантировать, что значение f(x) не будет находиться дальше этого расстояния от L.
Допустим, вы мне не верите и хотите узнать,
а будет ли данное выражение действительно, если расстояние от L будет равно 0,5.
Допустим, вы задаете мне значение 0,5.
А согласно определению все допустимые значения х должны быть больше или меньше а.
Это и будет диапазон значений х вокруг а.
А значит, f(x) должно быть на расстоянии меньше чем 0,5 от L.
Следовательно, все значения функции f(x) будут находиться в этом промежутке.
И до тех пор, пока я придаю х значения, которые стремятся к а,
значения f(x) будут стремиться к L.
Давайте я, наверное, нарисую график покрупней,
а то на этом уже ничего не понятно.
Вот наша функция f(x), а это точка, которая не входит в значения функции.
Конечно же, этой точки может и вовсе не быть, но с ней предел интересней.
Давайте и оси нарисуем.
Итак, это ось х, а это ось у.
Это точка L, а это точка а.
Теперь согласно определению предела, определению на языке эпсилон-дельта,
к которому мы скоро обратимся, функция f(x) равна ...
Вы задаете мне любое расстояние от L.
Давайте обозначим его через ε.
Итак, значения функции должны находиться не дальше, чем на расстоянии ε от L.
ε может быть любое число больше 0-ля, любое действительное число.
Итак, вот это расстояние может быть ε и вот это расстояние также может быть ε.
Значит, это - точка L+ε, а это - точка L-ε.
Таким образом, согласно определению предела на языке эпсилон-дельта,
неважно, какое значение ε дается, можно всегда точно определить интервал,
серединой которого является точка а. Обозначим этот интервал через δ.
Эта буква называется «дельта».
Значит, если значение х находится в этом промежутке от а-δ до а+δ,
я могу гарантировать, что соответствующее значение функции f(x)
будет находиться в промежутке от L-ε до L+ε.
Другими словами, мы можем приблизиться к L настолько близко, насколько вы хотите.
Под словами «насколько вы хотите» я подразумеваю значение ε, заданное вами.
Мы можем приблизиться к L, обозначив диапазон значений,
которые принимает х, в окрестностях точки а, к которой он стремится.
И пока вы берете значения х из этой области, можно быть уверенным,
что f(x) будет находиться в промежутке, который вы определили.
Теперь, чтобы вы окончательно во всем разобрались, давайте возьмем конкретные числа.
Сейчас вы убедитесь в том, что это определение как игра.
Допустим, здесь у нас число 2, а здесь – единица.
Итак, предел f(x) при х стремящемся к единице равен 2-ум.
Это значит, что вы можете задать мне любое значение ε, к примеру, ε=0,5.
Тогда, значения функции будут находиться на промежутке между 1,5 и 2,5.
И пока вы берете значения х из промежутка между, ну предположим, 0,9 и 1,1,
в этом случае δ=0,1, я могу гарантировать,
что соответствующие значения f(x) будут находиться именно в этой ε-окрестности.
А теперь давайте запишем определение предела через ε и δ,
которое вы можете встретить в учебниках по высшей математике.
А затем мы рассмотрим пару примеров.
Но перед этим давайте кое-что проясним.
Мы только что рассмотрели особенный пример.
Вы дали мне значение ε, а я, в свою очередь, дала подходящее значение δ.
Но согласно определению, если это выражение истинно,
то это работает не только для особого значения,
а для любого значения ε, которое вы мне зададите.
И я всегда смогу предоставить вам диапазон значений х вокруг числа, к которому х стремится.
И когда вы будете брать х из этой области, то f(x) будет находиться в этом промежутке.
Я не могу этого гарантировать только в одном случае, если мы возьмем значение х=а.
Для любых других значений из этого интервала принцип работает.
Давайте запишем определение, которое часто встречается в учебниках.
Итак, вы даете мне любое ε, которое больше 0-ля.
В любом случае это определение предела.
Итак, если кто-то пишет вот такое выражение, то это значит,
вы можете задать этому кому-то любое число ε больше 0-ля.
Тогда вам зададут δ,
область всех значений х вокруг точки, к которой стремится х.
Давайте еще раз запишем предел: предел f(x) при х, стремящемся к а.
Итак, вам задано значение δ.
Тогда расстояние между х и а, если х мы возьмем вот здесь, будет больше 0-ля.
Обратите внимание: больше, а не больше или равно,
поскольку в точке а функция не определена.
И это же расстояние будет меньше δ. Давайте изобразим эту часть покрупнее.
Итак, это а, а это δ. Это расстояние также будет равно δ.
И пока вы берете значения х из этого промежутка, это значение,
либо это значение, либо это и так далее, я могу гарантировать,
что расстояние между функцией f(x) и L будет меньше ε.
Т.е. меньше значения, которое вы задали.
Другими словами, если мы берем значения х из этого промежутка,
то соответствующие значения функции будут находиться не дальше,
чем на расстоянии ε от L.
Я понимаю, что это кажется очень-очень сложным.
Но данное определение более точное с математической точки зрения.
То обозначение предела, которое мы приводили ранее,
было скорее на интуитивном уровне.
И я думаю, определение на языке эпсилон-дельта еще пригодится вам в будущем
в изучение более сложных математических понятий.
Ранее мы говорили, что если х стремится к определенной точке а,
то функция стремится к определенной точке L.
А, исходя из этого определения, вы говорите,
что хотите находиться очень близко к точке L,
не дальше чем на расстоянии 0,001 от L.
В этом случае я всегда смогу предоставить вам промежуток значений х,
для которых соответствующие значения функции находятся в заданной вами ε-окрестности.
На этом наше время заканчивается.
На следующем уроке мы будем искать пределы, используя новое определение.
До скорой встречи!
Несмотря на то, что греки сталкивались со сходимостью, например, в вавилонском методе[en] вычисления квадратных корней, у них не было концепции, подобной современному понятию предела[3]. Необходимость концепции предела возникла в 1600-х годах, когда Пьер Ферма пытался найти угловой коэффициенткасательной в точке к графику функции, такой как . Используя ненулевую, но очень малую, почти нулевую величину , Ферма сделал следующие вычисления:
Ключевым фактом вышеприведённых вычислений является ненулевое значение , а тогда можно делить на . Однако из-за того, что близок к 0, выражение , фактически, равно [4]. Величины, подобные , называются бесконечно малыми. Проблема в этом вычислении заключается в том, что математики той эпохи были не в состоянии точно определить величины со свойствами [5], хотя общей практикой было пренебрегать высокими степенями бесконечно малых величин, и эта практика давала корректные результаты.
Проблема возникла в конце 1600-х годов при развитии математического анализа, когда вычисления, такие как у Ферма, становятся важными для вычисления производных. Исаак Ньютон первым разработал анализ с помощью бесконечно малых величин, которые называл флюксиями[en]. Он развивал свой метод, имея в виду идею «бесконечно маленького момента времени...»[6]. Позднее, Ньютон отказался от флюксий в пользу теории пропорций, которая ближе к современному определению предела [6]․ Более того, Ньютон отдавал себе отчёт, что предел отношения стремящихся к нулю величин не является самим отношением пределов. Он писал:
Это предельные отношения не являются фактическими отношениями предельных величин, а являются пределами, которые могут быть достигнуты ближе, чем любая заданная величина...
Дополнительно, Ньютон время от времени объяснял предел в терминах, похожих на определение[7]. Готфрид Вильгельм Лейбниц развивал собственные бесконечно малые и пытался обеспечить для них строгую основу, но его идеи были встречены с тревогой некоторыми математиками и философами[6].
Огюстен Луи Коши дал определение предела в терминах более примитивного понятия, которое он назвал переменной величиной. Он никогда не давал определение предела в терминах (Grabiner 1981). Некоторые из доказательств Коши содержат признаки метода. Может ли его подход считаться предвестником подхода Вейерштрасса — предмет научной дискуссии. Существует мнение , что Коши и Вейерштрасс дали одно и то же имя различным понятиям предела[8].
Со временем Вейерштрасс и Больцано были признаны как давшие твёрдую опору для математического анализа в виде современного определения предела[1][2]. Необходимость ссылки на бесконечно малую величину исчезла[6], и вычисления Ферма превратились в следующий предел:
Нельзя сказать, что определение свободно от проблем, и, хотя оно и дало возможность избавиться от бесконечно малых величин, позже для него потребовалось построение вещественных чиселРихарда Дедекинда[6]. Нельзя также сказать, что бесконечно малых нет в современной математике, поскольку математики смогли создать бесконечно малые величины как часть систем гипервещественных чисел или сюрреальных чисел. Более того, можно строго развивать математический анализ с такими величинами, и они имеют другие использования в математике[9].
Неформальное утверждение
Возможным неформальным (то есть интуитивным или приблизительным) определением является «функция стремится к пределу L близ точки a (в символьном виде, ), если можно сделать значение функции f(x) сколь угодно близким к L путём выбора x достаточно близко к (но исключая) a»[10].
Когда говорится, что две величины близки (как f(x) и L, или x и a), имеется в виду, что расстояние между ними мало. Если f(x), L, x и a являются вещественными числами, расстояние между двумя числами равны абсолютной величинеразности двух величин. Таким образом, когда говорится, что f(x) близко к L, имеется в виду, что мало. Когда говорится, что x и a близки, имеется в виду, что мало[11].
Когда говорится, что можно сделать значение функции f(x) сколь угодно близким к L, имеется в виду, что для всех ненулевых расстояний можно обеспечить расстояние между f(x) и L меньше, чем [11].
Когда говорится, что можно сделать значение функции f(x) сколь угодно близким к L путём требования к x быть достаточно близким к a, но не равным a, имеется в виду, что для любого ненулевого расстояния существует ненулевое расстояние , такое, что если расстояние между x и a меньше , то расстояние между f(x) и L меньше [11].
Неформальный/интуитивный аспект, используемый здесь, заключается в том, что определение требует следующего внутреннего рассуждения (которое обычно перефразируется на языке например «когда противник/соперник атакует вас с , вы защищаетесь величиной »): кто-то даёт испытательную величину для заданной функции , точки a и предела L. Нужно ответить величиной , такой что из следует . Если можно обеспечить ответ на любую испытательную величину, то предел существует[12].
если для любого существует , такое, что для всех , если , то [13].
В символическом виде:
Если или , условие, что является предельной точкой, может быть заменено на более простое условие, что c принадлежит D, поскольку замкнутые вещественные интервалы и вся вещественная ось являются совершенными множествами.
Точное утверждение для функций между метрическими пространствами
Определение можно обобщить на функции, отображающие метрическое пространство в другое метрическое пространство. Эти пространства приходят с функцией, называемой метрикой, которая берёт две точки пространства и возвращает вещественное число, представляющее расстояние между этими двумя точками[14]. Обобщённое определение[15]:
Предположим, что функция определена на подмножестве метрического пространства с метрикой и отображает его в метрическое пространство с метрикой . Пусть будет предельной точкой множеств , а будет точкой пространства .
Мы говорим, что
если для любого существует , такой что для всех из следует .
Поскольку является метрикой на вещественных числах, можно показать, что это определение обобщает первое определение для вещественных функций[16].
Предположим, что функция определена на подмножестве метрического пространства с метрикой и отображает его в метрическое пространство с метрикой . Пусть будет предельной точкой множества и пусть будет точкой в пространстве .
Мы говорим, что
если существует , такой, что для всех существует , такой, что и .
Мы говорим что не существует, если для всех .
Для отрицания утверждения для вещественных функций, определённых на вещественных числах, просто берём .
Точное утверждение для предела на бесконечности
Точное определение для предела на бесконечности следующее:
Пусть функция будет вещественной функцией, определённо на подмножестве множества вещественных чисел, и это подмножество содержит произвольно большие числа. Мы говорим, что
если для любого существует вещественное число , такое, что для всех из условия вытекает [18].
Можно дать аналогичное определение и для произвольных метрических пространств.
Примеры
Пример 1
Покажем, что
Пусть значение задано. Нам нужно найти , такой, что из следует .
Поскольку синус ограничен сверху величиной 1, а снизу величиной −1,
Таким образом, если мы примем , то из следует , что завершает доказательство.
Пример 2
Докажем, что
для любого вещественного числа .
Пусть значение задано. Мы найдём , такой, что из следует .
Начнём с разложения на множители:
Понимаем, что множитель ограничен величиной , так что мы предполагаем границу 1 и впоследствии можем выбрать что-то меньшее [19]
Таким образом, мы полагаем . Поскольку выполняется для вещественных чисел и , мы имеем
Таким образом, мы нашли , такой, что из следует . Тем самым мы показали, что
для любого вещественного числа .
Пример 3
Докажем, что
Используя графическое понимание предела, можно подвести строгую основу для введения в доказательство. Так, согласно формальному определению, приведенному выше, утверждение о пределе верно тогда и только тогда, когда ограничение отклонения на величину от точки неминуемо ограничивает отклонение от до величины (см. иллюстрацию в начале статьи). В данном случае это означает, что утверждение верно тогда и только тогда, когда ограничиваем отклонение на от значения 5 неизбежно ограничивает
на от значения 12. Чтобы показать это, нужно продемонстрировать, как и должны быть связаны, чтобы требование выполнялось. Мы хотим показать математически, что
Подводя общие члены, вынося константу 3 и деля на неё в правой части импликации, получаем
что немедленно даёт требуемый результат, если выберем
Таким образом, доказательство завершено. Ключевой момент доказательства заключается в возможности выбора границ , а потом в возможности перейти к соответствующим границам . В нашем случае это было связано с множителем 3, который появляется как следствие коэффициента наклона 3-й прямой.
Непрерывность
Говорят что функция fнепрерывна в точке c, если она определена в c и её значение в c равно пределу f при стремлении x к c:
-определение непрерывной функции можно получить из определения предела путём замены на , чтобы обеспечить, что f определена в c и это значение совпадает с пределом.
Говорят, что функция f непрерывна на интервале I, если она непрерывна в любой точке c интервала I.
Сравнение с определением через бесконечно малые
Ховард Джером Кейслер[en] доказал, что гипервещественноеопределение предела[en] уменьшает сложность по кванторам на два квантора[20]. А именно, сходится к пределу L при стремлении к a тогда и только тогда, когда значение бесконечно близко к Lдля любого бесконечно малого e. (См. Микронепрерывность[en] для связанных определений непрерывности, фактически принадлежащих Коши.)
Учебники, по исчислению бесконечно малых, основанные на подходе Робинсона, дают определения непрерывности, производной и интеграла в терминах бесконечно малых величин. Когда понятия, такие как непрерывность, всесторонне объяснены через микронепрерывность, подход эпсилон–дельта также представляется. Карел Хрбачек считает, что определения непрерывности, производной и интегрирования в стиле нестандартного анализа Робинсона должны основываться на методе , чтобы покрыть также нестандартные входные значения[21]. Блащик возражает, считая, что микронепрерывность[en] полезна при разработке прозрачного определения равномерной непрерывности и считает критицизм Хрбачека «неясными жалобами»[22]. Хрбачек предлагает альтернативный нестандартный анализ, который (в отличие от анализа Робинсона) имеет несколько «уровней» бесконечно малых величин, так что пределы на одном уровне могут быть определены в терминах бесконечно малых величин следующего уровня[23].
Перевод:Джон Стилвелл. Математика и ее история. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
Benjamin Lee Buckley. The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. — 2012. — ISBN 9780983700487.
B. Pourciau. Newton and the Notion of Limit // Historia Mathematica. — 2001. — Т. 28, вып. 1. — С. 18–30. — doi:10.1006/hmat.2000.2301.
Michiyo Nakane. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in style // BSHM Bull. — 2014. — Вып. 29.
Terence Tao. Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008. — ISBN 978-0-8218-4695-7.