Векторное исчисление

Ве́кторное исчисле́ние — раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами^[1]. В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторное исчисление подразделяется на:

• векторную алгебру;
• векторный анализ;
• функциональный анализ.

Расширением векторного исчисления является тензорное исчисление, изучающее тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление в свою очередь разделяется на тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру) и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей.

Тензорное исчисление является составной частью дифференциальной геометрии, используемой, в том числе, в современной теоретической физике^[2].

Разделы векторного исчисления

Векторная алгебра

В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.^[3]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел^[4]

Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами^[5].

Векторный анализ

Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,^[6]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:

• Градиент
• Теорема о дивергенции вектора;
• Теорема о циркуляции вектора;
• Уравнение Лапласа;
• Уравнение Пуассона;
• Теорема разложения Гельмгольца;
• Теорема Умова^[7].

Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре ${\displaystyle D\left(M\right)}$. Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении^[8].

Функциональный анализ

Функциональный анализ является частью современного математического анализа, основной целью которого является изучение функций ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$, где по крайней мере одна из переменных ${\displaystyle x,\,y}$ меняется по бесконечному пространству^[9].

Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений^[10], в теории обработки сигналов^[11], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений^[12], алгебраической геометрии^[13] и т. д.

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 10 июля 2021 в 05:35.