Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

График функции  f ( x ) = ( 4 x 3 − 6 x 2 + 1 ) x + 1 3 − x {\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}} .
График функции
.

Фу́нкция (отображе́ние, опера́тор, преобразова́ние) в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной однозначно определяет значение выражения , также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. «Житейский» пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологическую мать.

Аналогично, заранее заданный алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.

История

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному[1][2].

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год)[3].

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение[2].

Определения

Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.
Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.

Наиболее строгим является теоретико-множественное определение функции (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся понятие функции, то есть описание математического объекта с помощью понятий обычного языка, таких как «закон», «правило» или «соответствие».

Понятие функции

Говорят, что на множестве имеется функция (отображение, операция, оператор) со значениями из множества , если по правилу каждому элементу поставлен в соответствие некоторый элемент [1].

В таком случае говорят также, что функция отображает множество в множество . Функцию обозначают, в частности, записью .

Если используется термин оператор, то говорят, что оператор действует из множества в множество и добавляют запись .

Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия считается известным, то говорят, что на множестве задана функция , принимающая значения из . Если функция должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что  — неизвестная или неявно заданная функция. При этом функция всё равно считается заданной, хотя и косвенно.

Заметим, что в формулировке понятия функции требование соответствия «по правилу» является повтором, поскольку оно содержится в понятии однозначного соответствия. Формулировка понятия функции без понятия правило и необходимости его обозначать:

Говорят, что на множестве задана функция , принимающая значения из , если каждому элементу из множества поставлен в соответствие некоторый элемент из множества [4].

Например, функция может быть задана таблицей пар элементов и , которая и есть правило соответствия для каждого элемента из . Числовые функции часто задаются формулами, которые позволяют по данному числу однозначно вычислить соответствующее число .

Если каждому элементу из множества по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент из множества , то указанное соответствие называется функцией , заданной на множестве со значениями из [3][5]. Буква в этом обозначении — индивидуальный знак функции.

Итак, функция (или кратко: функция или ) представляет собой тройку объектов: , где

  • множество называется о́бластью задания или областью определения функции;
  • множество называется о́бластью значе́ний функции;
  •  — правило, по которому каждому элементу сопоставляется некоторый элемент . Для правила здесь использовано то же обозначение, что и для функции.

Обозначенный буквой каждый элемент множества называется независимой переменной или аргументом функции. Множество при этом называется областью изменения переменной .

Элемент , соответствующий фиксированному элементу называется частным значением функции в точке .

Совокупность всех частных значений , обозначаемая символом , называется множеством значений функции.

Теоретико-множественное определение

Понятие множества упорядоченных пар (отношения) позволяет исключить из формулировки понятия функции не только понятие правило, но и понятие соответствие, к которому сводится понятие функции в обычных формулировках предыдущего подраздела.

Таким образом, для функции можно сформулировать определение, использующее только начальные математические понятия:

функцией называется множество упорядоченных пар таких, что для каждого из элементов элемент определён, и притом единственным образом[1].

В таком случае:

  • множество называется областью задания или областью определения функции;
  • множество называется областью значений функции
  • множество всех элементов , для которых существует пара , , называется множеством значений функции;
  • множество упорядоченных пар называется также графиком функции; понятие графика функции и понятие функции при таком определении функции совпадают. При обычной формулировке понятия функции её графиком называется множество пар .

Функции и называются равными, если их графики совпадают[6].

Поскольку равенство функций (в любом её определении) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции и , где  — множество вещественных чисел, а  — множество положительных вещественных чисел, являются разными функциями.

Более общим определением функции, включающим в себя не только однозначные функции, но и многозначные, является следующее:

функцией называется любое множество упорядоченных пар [1][нет в источнике].

При этом:

  • Множество называется областью отправления функции. Множество всех элементов , для которых существует пара , называется областью задания функции;
  • множество называется областью прибытия функции. Множество всех элементов , для которых существует пара , называется множеством значений функции.

Обозначения функции

Если на множестве задана функция , принимающая значения из множества , то этот факт записывают в виде:

или .

Множество  — область задания функции  — обозначается символом или ; множество  — область значений[3] функции . Множество значений функции обозначается символом или (). Если область значений и множество значений совпадают, то говорят, что отображает множество на (это отображение называется сюръекцией), в противном случае — в .

Функция, заданная на множестве , наиболее часто обозначается как соответствие между элементами и :

,

или кратко:

или ;
или .

Чтобы сократить количество различных обозначений в тексте, символ, обозначающий функцию, заданную на множестве , часто обозначают как само значение функции:

, .

То, что отображает множество в также может обозначаться в виде соответствия между самими элементами и :

или ;

Реже используется обозначение функции как соответствие между элементами и без скобок:

, или ,

а там, где необходимо подчеркнуть двойственность[уточнить], используются обозначения со скобками:

или .

Также существует и операторное обозначение , которое можно встретить в общей алгебре.

В лямбда-исчислении Чёрча используется обозначение .

Функции нескольких аргументов

График функции двух переменных  f ( x , y ) = sin ⁡ ( x − sin ⁡ ( 2 y ) ) {\displaystyle f(x,y)=\sin(x-\sin(2y))}
График функции двух переменных

Понятие функции легко обобщается на случай функции многих аргументов.

Если множество представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение , где  — множество вещественных чисел, оказывается -местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

где .

В этом случае запись означает, что .

Способы задания функции

Аналитический способ

Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства записью где есть переменная, пробегающая область задания функции, а соответствующие значения переменной (или, что то же самое, значения выражения ) принадлежат области значений функции. Например, равенство , где пробегает множество вещественных чисел, задаёт числовую функцию

Само по себе равенство , без указания того, что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.

Например, есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если является другим обозначением переменной , то также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную , то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.

Однако высказывание функция (или функция ) на множестве задания обозначает соответствие элементов двух множеств. Более того, часто функцию (или ) для краткости обозначают как функцию на множестве задания. Это соглашение является удобным и оправданным.

Графический способ

График  f ( x ) = x 3 − 3 x {\displaystyle f(x)=x^{3}-3x}
График

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть — вещественная функция n переменных. Тогда её графиком является множество точек в (n + 1)-мерном пространстве:. Это множество точек часто является гиперповерхностью. В частности, при график функции в некоторых случаях может быть изображён кривой в двумерном пространстве.

Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например, каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике, как бывает на графиках комплексных функций).

Связанные определения

Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение и множество являющееся строгим подмножеством множества

Отображение , которое принимает на те же значения, что и функция , называется суже́нием (или иначе ограничением) функции на множество .

Сужение функции на множество обозначается как .

При этом исходная функция напротив, называется продолжением функции на множество .

Образ и прообраз (при отображении), значение в точке

Элемент , который сопоставлен элементу , называется образом элемента (точки) (при отображении ) или значением отображения в точке .

Если взять целиком подмножество области задания функции , то совокупность образов всех элементов этого множества, то есть подмножество области значений (функции ) вида

,

называется образом множества при отображении . Это множество иногда обозначается как или .

Образ всей области определения функции называется образом функции или, если функция является сюръекцией, вообще называется областью значений функции.

И, наоборот, взяв некоторое подмножество в области значений функции , можно рассмотреть совокупность всех элементов области задания функции , чьи образы попадают в множество , то есть множество вида

,

которое называется (полным) прообразом множества (при отображении ).

В частности, когда множество состоит из одного элемента — допустим, , — то множество имеет более простое обозначение [источник не указан 20 дней].

Тождественное отображение

Отображения, у которых совпадают область задания и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями[уточнить].

В частности, преобразование , которое сопоставляет каждой точке множества её саму или, что то же самое,

для каждого , называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: или, если проще, (если из контекста понятно, какая область определения имеется в виду). Такое обозначение восходит к англ. identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — . Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве , поэтому нередко тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений

Пусть и — два отображения, таких, что множество значений (которое в общем случае не совпадает с областью значений, равной ) первого из них является подмножеством (нестрогим подмножеством) области задания второго — . Тогда для всякого однозначно определяется элемент такой, что , а для в свою очередь, однозначно определяется элемент такой, что . То есть для всякого однозначно определяется элемент такой, что . Другими словами, задано отображение такое, что

для всякого .

Это отображение называется композицией отображений и , оно обозначается выражением , которое читается « после ». В общем случае композиция некоммутативна: или

Обратное отображение

Если отображение является взаимно однозначным или биективным (определение биекции ниже), то существует отображение , у которого

  • область задания (множество ) совпадает с областью значений отображения  ;
  • область значений (множество ) совпадает с областью задания отображения ;
  • тогда и только тогда, когда .

Отображение называется обратным по отношению к отображению .

Отображение, у которого существует обратное, называется обратимым. Свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: и .

Свойства

Свойства образов и прообразов

Свойства образов

Пусть и  — подмножества области задания функции . Тогда образы множеств и при отображении обладают следующими свойствами:

  • ;
  • ;
  • .
  • образ объединения множеств равен объединению образов:
  • образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов: .

Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение обратимо (см. выше), то прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

  • образ пересечения равен пересечению образов: .

Свойства прообразов

Пусть и  — подмножества множества . Тогда прообразы множеств и при отображении обладает следующими двумя очевидными свойствами:

  • прообраз объединения равен объединению прообразов: ;
  • прообраз пересечения равен пересечению прообразов: .

Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Поведение функций

Сюръективность

Функция называется сюръективной (или коротко сюръекцией), если каждому элементу множества может быть сопоставлен хотя бы один элемент множества . То есть функция сюръективна, если образ множества при отображении совпадает с множеством : . Другими словами, у сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент не имел прообраза.

Такое отображение называется ещё отображением множества на множество . Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением множества в множество .

Инъективность

Функция называется инъективной (или просто инъекцией), если любым двум разным элементам из множества сопоставляются разные элементы из множества . Более формально, функция инъективна, если из равенства следует, что для любых двух элементов . Иначе говоря, у инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов из множества отображались в один и тот же элемент из .

Биективность

Функция, одновременно сюръективная и инъективная, называется биективной или взаимно однозначной.

Возрастание и убывание

Пусть дана функция Тогда

  • функция называется неубывающей на , если
  • функция называется возраста́ющей на , если
  • функция называется невозраста́ющей на , если
  • функция называется убыва́ющей на , если

Невозрастающие и неубывающие функции называются (нестрого) монотонными, а возрастающие и убывающие функции — строго монотонными.

Периодичность

Функция называется периодической с пери́одом , если выполняется равенство

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Чётность

  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
  • Функция называется чётной, если справедливо равенство

Экстремумы функции

Пусть задана функция и точка  — внутренняя точка области задания Тогда

  • называется точкой локального максимума, если существует окрестность точки такая, что
  • называется точкой локального минимума, если существует окрестность точки такая, что

Свойства множеств и функций

В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:

  1. абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
  2. множества, которые наделены некоторой структурой.

В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы — например, о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то эти множества называют эквивалентными или равномощными. Это позволяет провести классификацию множеств по их мощностям, причём наименьшие из них в порядке увеличения таковы:

Таким образом получаются следующие виды отображений — по мощности области определения:

  • конечные функции — отображения конечных множеств;
  • последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
  • континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

В случае 2 основным объектом рассмотрения является заданная на множестве структура (где элементы множества наделены каким-то дополнительными свойствами, которые связывают эти элементы, — например, в группах, кольцах, линейных пространствах) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, вообще говоря, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до изоморфизма».

Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:

Функции с каким-либо конкретным свойством могут не существовать на тех множествах, которые не обладают соответствующей структурой. Например, чтобы сформулировать такое свойство, как непрерывность функции, заданной на множестве, на этом множестве нужно задать топологическую структуру.

Обобщения

Частично определённые функции

Частично определённой функцией из множества в множество называется функция с областью задания .

Некоторые авторы могут под само́й ифункцией подразумевать лишь её сужение — такое, чтобы на «суженной» области определения функция была определена целиком. Это имеет свои преимущества: например, возможна запись , где — в этом случае имеется в виду .

Многозначные функции

Заданному значению аргумента должно соответствовать ровно одно значение функции, что связано с самим определением функции. Но, несмотря на это, нередко можно встретить так называемые многозначные функции. В действительности это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть , где  — семейство подмножеств множества . Тогда будет множеством для всякого .

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции[7].

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 4 В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 13, 22, 25, 31. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.
  2. 1 2 Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87
  3. 1 2 3 Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 69. — 528 с.
  4. А. Н.  Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 496 с.
  5. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  6. В. А. Садовничий. Теория операторов. — М.: Дрофа, 2001. — С. 241. — 381 с. — ISBN 5-71-074297-X.
  7. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 11 июня 2021 в 18:11.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).