Топология

Тополо́гия — раздел математики, который является разновидностью геометрии, посвященной изучению качественных свойств геометрических фигур, не зависящих от расстояний, величин углов, площадей и объёмов.

В отличие от геометрии, эквивалентными в топологии, по определению, считаются те фигуры, которые получаются друг из друга произвольной обратимой непрерывной деформацией. Такие деформации называются гомеоморфизмами. Например, сглаживая углы треугольника, его можно деформировать в круг, а затем, заостряя края круга, — в пятиугольник или любой другой выпуклый многоугольник, поэтому с точки зрения топологии все эти фигуры эквивалентны. Кроме того, кружка с ручкой и бублик гомеоморфны. Напротив, бублик и шар, а также кольцо и круг по некоторым причинам не гомеоморфны.

Первостепенной задачей топологии является задача классификации. Решение данной задачи требует топологических инвариантов, то есть таких характеристик пространства, которые сохраняются при гомеоморфизме. Изучение подобных характеристик послужило важным стимулом для развития топологии и восходит к открытию тождества Эйлера — соотношения между количествами вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В ${\displaystyle -}$ Р ${\displaystyle +}$ Г ${\displaystyle =2}$. Объяснение этого тождества с точки зрения топологии в том, что выражение слева от равенства является топологическим инвариантом, а все выпуклые многогранники гомеоморфны между собой (и гомеоморфны шару). Впоследствии тождество Эйлера позволило установить топологический инвариант совершенно произвольного топологического пространства — его эйлерову характеристику. В частности, этот инвариант позволяет отличить шар от бублика и круг от кольца.

Основными объектами исследования в топологии являются топологические пространства, которые в первом приближении представляют собой классы эквивалентности по описанному выше отношению (то есть гомеоморфности) геометрических фигур и произвольных метрических пространств.

За счёт того, что основные понятия топологии не требуют для своего определения никаких классических геометрических понятий, эта теория применяется к объектам, далёким от геометрических, проникает практически во все области математики и допускает многочисленные приложения.

Этимология

Слово «топология» происходит от сочетания двух древнегреческих существительных: τόπος — место и λόγος — слово, учение. Буквально оно означает изучение места (пространства) или локальное исследование. Таким образом, топология занимается определением того, что такое пространство и каковы его свойства.

Термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:

«Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин»^[1].

Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs).

История

Топология берёт своё начало с изучения некоторых геометрических задач. Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера.

Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась одной из самых бурно развивающихся отраслей математики.

Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу, Пуанкаре (цикл статей Analysis situs), Александрову, Урысону, Брауэру.

Разделы топологии

Общая топология

Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии о непрерывности в чистом виде. Она посвящена, в частности, исследованию фундаментальных топологических свойств, таких как связность и компактность.

Маломерная топология

Маломерная топология — раздел топологии, сосредоточенный в основном вокруг многообразий малой размерности, то есть узлов, кос, поверхностей, трёхмерных и четырёхмерных многообразий.

Алгебраическая топология

Алгебраическая топология — раздел топологии о непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология — раздел топологии о гладких многообразиях с точностью до диффеоморфизма и их включениях (размещениях) в других многообразиях.

Вычислительная топология

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.

См. также

• Топологическое пространство
• Глоссарий общей топологии

Примечания

Литература

• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», Вып. 21).
• Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию. — Изд. 3-е. — М.: ЛЕНАНД, 2015
• Васильев В. А. Топология для младшекурсников. — М.: МЦНМО, 2014
• Вербицкий М. Лекции и задачи по топологии. — 2009.
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. — 2007.
• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983.
• Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).. — М.: Наука, 1981. — Т. 2. — С. 98—99. (недоступная ссылка)
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. — М.: Мир, 1972.
• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
• Прасолов В. В. Наглядная топология. — М.: МЦНМО, 1995.
• Стюарт Я. Топология. // Квант, № 7, 1992.
• Гарднер М. Нульсторонний профессор — рассказ, описывающий предмет топологии в занимательном ключе

Ссылки

	В Викисловаре есть статья «топология»

• Раздел «Алгебраические многообразия и топология» физико-математической библиотеки сайта «Мир математических уравнений»
• Топология как геометрия XX века // Лекция математика Сергея Ландо в проекте ПостНаука (13.04.2013)

Эта страница в последний раз была отредактирована 29 мая 2023 в 19:24.