Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}}
Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функций, например сложно-показательных.
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
Просмотров: 2 515
15 889
5 925
7 996
7 514
Логарифмическая производная - производная для необычных и сложных функций
Видеоурок "Логарифмическое дифференцирование"
Логарифмическое дифференцирование. Тема
Производная показательно-степенной функции
Содержание
Применение
Производная степенно-показательной функции
Пусть
f
(
x
)
=
u
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)=u(x)^{g(x)}}
(для краткости
f
=
u
g
{\displaystyle f=u^{g}}
, где u и g - функции).
Тогда
ln
f
=
ln
u
g
=
g
ln
u
{\displaystyle \ln f=\ln u^{g}=g\ln u}
,
(
ln
f
)
′
=
(
g
ln
u
)
′
=
g
′
⋅
ln
u
+
g
⋅
u
′
u
{\displaystyle (\ln f)'=(g\ln u)'=g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u}}}
.
С другой стороны,
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}}
, т.е.
f
′
=
f
⋅
(
ln
f
)
′
{\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'}
.
Окончательно имеем
(
u
g
)
′
=
u
g
(
g
′
⋅
ln
u
+
g
⋅
u
′
u
)
{\displaystyle (u^{g})'=u^{g}(g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u}})}
Производная произведения функций
Пусть задана функция
f
(
x
)
=
∏
i
=
1
n
g
i
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(x)}
(для краткости
f
=
∏
i
=
1
n
g
i
{\displaystyle f=\prod _{i=1}^{n}g_{i}}
).
Так как
f
′
=
f
⋅
(
ln
f
)
′
=
∏
i
=
1
n
g
i
(
ln
∏
j
=
1
n
g
j
)
′
=
∏
i
=
1
n
g
i
(
∑
j
=
1
n
ln
g
j
)
′
=
∏
i
=
1
n
g
i
∑
j
=
1
n
(
ln
g
j
)
′
=
∏
i
=
1
n
g
i
∑
j
=
1
n
g
j
′
g
j
{\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\ln \prod _{j=1}^{n}g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\sum _{j=1}^{n}\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}(\ln g_{j})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}}
.
Окончательно получаем:
f
′
=
(
∏
i
=
1
n
g
i
)
′
=
∏
i
=
1
n
g
i
∑
j
=
1
n
g
j
′
g
j
=
f
⋅
∑
j
=
1
n
g
j
′
g
j
{\displaystyle f'=(\prod _{i=1}^{n}g_{i})'=\prod _{i=1}^{n}g_{i}\sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}=f\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}}
.
Можно расписать формулу и прийти к другой форме:
Если
f
=
g
1
⋅
g
2
⋅
…
⋅
g
n
{\displaystyle f=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}}
, то
f
′
=
g
1
⋅
g
2
⋅
…
⋅
g
n
⋅
(
g
1
′
g
1
+
g
2
′
g
2
+
…
+
g
n
′
g
n
)
{\displaystyle f'=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}\cdot \left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\ldots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}
Раскрыв скобки, получим:
f
′
=
g
1
′
⋅
g
2
⋅
…
⋅
g
n
+
g
1
⋅
g
2
′
⋅
…
⋅
g
n
+
…
+
g
1
⋅
g
2
⋅
…
⋅
g
n
′
{\displaystyle f'=g_{1}'\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}+g_{1}\cdot g_{2}'\cdot \ldots \cdot g_{n}+\ldots +g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}'}
В частности, если
f
=
u
1
α
1
⋅
u
2
α
2
⋅
…
⋅
u
m
α
m
v
1
β
1
⋅
v
2
β
2
⋅
…
⋅
v
n
β
n
{\displaystyle f={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\alpha _{m}}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}}
, то
f
′
=
u
1
α
1
⋅
u
2
α
2
⋅
…
⋅
u
m
α
m
v
1
β
1
⋅
v
2
β
2
⋅
…
⋅
v
n
β
n
⋅
(
α
1
⋅
u
1
′
u
1
+
α
2
⋅
u
2
′
u
2
+
…
+
α
m
⋅
u
m
′
u
m
−
β
1
⋅
v
1
′
v
1
−
β
2
⋅
v
2
′
v
2
−
…
−
β
n
⋅
v
n
′
v
n
)
{\displaystyle f'={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\alpha _{m}}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{n}}}}\cdot \left(\alpha _{1}\cdot {\frac {u_{1}'}{u_{1}}}+\alpha _{2}\cdot {\frac {u_{2}'}{u_{2}}}+\ldots +\alpha _{m}\cdot {\frac {u_{m}'}{u_{m}}}-\beta _{1}\cdot {\frac {v_{1}'}{v_{1}}}-\beta _{2}\cdot {\frac {v_{2}'}{v_{2}}}-\ldots -\beta _{n}\cdot {\frac {v_{n}'}{v_{n}}}\right)}
Пример
Найдем производную,
d
f
d
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}
от функции
f
(
x
)
=
x
x
{\displaystyle f(x)=x^{x}}
:
d
f
d
x
=
f
(
ln
f
)
′
=
x
x
(
x
ln
x
)
′
=
x
x
(
ln
x
+
1
)
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=f(\ln f)'=x^{x}(x\ln x)'=x^{x}(\ln x+1)}
См. также
Эта страница в последний раз была отредактирована 11 июня 2019 в 14:39.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.