Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Векторный оператор Лапласа

Из Википедии — свободной энциклопедии

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом [1], аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

Определение

Векторный оператор Лапласа векторного поля определяется следующим образом:

[2].
.

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля :

[1],

где , , — компоненты векторного поля .

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

Обобщение

Лапласиан любого тензорного поля (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

.

В случае если — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

,

где (общий вид компоненты тензора), и могут принимать значения из множества .

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

.

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физике

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкости[3]:

,

где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей представляет собой вязкость жидкости.

Литература

  • Хмельник С.И. Уравнения Навье-Стокса существование и метод поиска глобального решения. — Израиль: MiC, 2010. — 106 с. — ISBN 978-0-557-48083-8.

Примечания

  1. 1 2 Хмельник, 2010, Приложение 1.
  2. Weisstein, Eric W. Vector Laplacian (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Хмельник, 2010, Глава 2.
Эта страница в последний раз была отредактирована 16 октября 2020 в 09:30.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).