Теорема синусов

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

и расширенная теорема синусов:

Доказательства

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты ${\displaystyle h_{b}}$ треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

${\displaystyle h_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha }$. Следовательно, ${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎

Доказательство расширенной теоремы синусов

Доказательство

Достаточно доказать, что

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$

Проведем диаметр ${\displaystyle |BG|}$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол ${\displaystyle GCB}$ прямой, а угол ${\displaystyle CGB}$ равен либо ${\displaystyle \alpha }$, если точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle G}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle BC}$, либо ${\displaystyle \pi -\alpha }$ в противном случае. Поскольку ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$, в обоих случаях получаем

${\displaystyle a=2R\sin \alpha }$.

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}$ ∎

Доказательство через формулы нахождения площади треугольника

Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника ${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$ и ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}=\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }}\\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$ ∎

Вариации и обобщения

В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

В симплексе

${\displaystyle V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot \sin {A_{i,j}},}$

где ${\displaystyle A_{i,j}}$ — угол между гранями ${\displaystyle V_{n-1}^{i}}$ и ${\displaystyle V_{n-1}^{j}}$; ${\displaystyle V_{n-2}^{i,j}}$ — общая грань ${\displaystyle V_{n-1}^{i}}$ и ${\displaystyle V_{n-1}^{j}}$; ${\displaystyle V_{n}}$ — объём симплекса.

История

• В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется^[1].
• Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке^[2].
• Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке^[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере^[4].

Вариации и обобщения

• Сферическая теорема синусов
• На плоскости Лобачевского с кривизной ${\displaystyle -1}$ теорема синусов принимает следующую форму:

  ${\displaystyle {\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C}{\mathrm {sh} \,c}}.}$

• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 24 апреля 2023 в 18:00.