Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Локально тривиальное расслоение

Из Википедии — свободной энциклопедии

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Определение

Пусть , и топологические пространства. Сюръективное непрерывное отображение называется локально тривиальным расслоением пространства над базой со слоем , если для всякой точки базы существует окрестность , над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм , такой что коммутативна диаграмма

Local triviality condition.

Здесь  — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство также называется тотальным пространством расслоения, или расслоенным пространством.

Связанные определения

  • Сечение расслоения — это отображение , такое что . Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть  — многообразие, а  — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении . Тогда сечение расслоения  — это векторное поле без нулей на . Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
  • Множество называется слоем расслоения над точкой . Каждый слой гомеоморфен пространству , поэтому пространство называется общим (или модельным) слоем расслоения ,
  • Гомеоморфизм , отождествляющий ограничение расслоения над окрестностью точки с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения над окрестностью точки .
  • Если  — покрытие базы открытыми множествами, и  — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство называется тривиализующим атласом расслоения .
  • Предположим локально тривиальное расслоение снабжено покрытием базы с выделенной тривиализацией и сужение любого отображения сличения на слой принадлежит некоторой подгруппе группы всех автоморфизмов . Тогда называется локально тривиальным расслоением со структурной группой .

Примеры

  • Тривиальное расслоение, то есть проекция на первый сомножитель.
  • Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
  • Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
  • Если  — топологическая группа, а  — её замкнутая подгруппа, причём факторизация имеет локальные сечения, то является расслоением со слоем (Steenrod 1951, §7).
  • Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
  • Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение . Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой , а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
  • Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство ), общий слой (пространство ) и отображения перехода (1-коцикл Чеха ) для какого-нибудь открытого покрытия пространства . Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида с правилом отождествления:
, если

Свойства

  • Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы  — локально тривиальное расслоение, отображения и , так что , и гомотопия отображения (то есть ). Тогда существует гомотопия отображения , такая что , то есть следующая диаграмма коммутативна
  • Пусть имеется локально тривиальное расслоение со слоем (иногда записываемое формально как ). Тогда последовательность гомотопических групп точна:
  • Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:
Если , то .
  • Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа некоммутативна, одномерные когомологии не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха :
    ,
где  — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)
  • Для любого локально тривиального расслоения и непрерывного отображения индуцированное расслоение является локально тривиальным.

Вариации и обобщения

  • Если пространства  — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение  — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением.
  • Расслоение называется голоморфным, если пространства  — комплексные многообразия, отображение  — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
  • Главное расслоение.

См. также

Литература


Эта страница в последний раз была отредактирована 7 июля 2020 в 19:01.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).