Локально тривиальное расслоение

Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Определение

Пусть ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle F}$ — топологические пространства. Сюръективное непрерывное отображение ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ называется локально тривиальным расслоением пространства ${\displaystyle E}$ над базой ${\displaystyle B}$ со слоем ${\displaystyle F}$, если для всякой точки базы ${\displaystyle x\in B}$ существует окрестность ${\displaystyle U\subset B}$, над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм ${\displaystyle \phi \colon \pi ^{-1}(U)\to U\times F}$, такой что коммутативна диаграмма

.

Здесь ${\displaystyle \mathrm {proj_{1}} :\,U\times F\to U}$ — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство ${\displaystyle E}$ также называется тотальным пространством расслоения, или расслоенным пространством.

Связанные определения

• Сечение расслоения — это отображение ${\displaystyle s:B\to E}$, такое что ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{B}}$. Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть ${\displaystyle M}$ — многообразие, а ${\displaystyle E\to M}$ — подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении ${\displaystyle TM}$. Тогда сечение расслоения ${\displaystyle E}$ — это векторное поле без нулей на ${\displaystyle M}$. Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
• Множество ${\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}\{x\}}$ называется слоем расслоения ${\displaystyle \pi }$ над точкой ${\displaystyle x\in B}$. Каждый слой гомеоморфен пространству ${\displaystyle F}$, поэтому пространство ${\displaystyle F}$ называется общим (или модельным) слоем расслоения ${\displaystyle \pi }$,
• Гомеоморфизм ${\displaystyle \varphi }$, отождествляющий ограничение расслоения ${\displaystyle \pi }$ над окрестностью точки ${\displaystyle x}$ с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения ${\displaystyle \pi }$ над окрестностью точки ${\displaystyle x}$.
• Если ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ — покрытие базы ${\displaystyle B}$ открытыми множествами, и ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F}$ — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}}$ называется тривиализующим атласом расслоения ${\displaystyle \pi :E\to B}$.
• Предположим локально тривиальное расслоение ${\displaystyle \pi :E\to B}$ снабжено покрытием ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ базы ${\displaystyle B}$ с выделенной тривиализацией ${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{-1}(U_{\alpha })}$ и сужение любого отображения сличения ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{-1}\circ \phi _{\beta }}$ на слой принадлежит некоторой подгруппе ${\displaystyle G}$ группы всех автоморфизмов ${\displaystyle F}$. Тогда ${\displaystyle \pi }$ называется локально тривиальным расслоением со структурной группой ${\displaystyle G}$.

Примеры

• Тривиальное расслоение, то есть проекция ${\displaystyle B\times F\to B}$ на первый сомножитель.
• Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
• Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
• Если ${\displaystyle G}$ — топологическая группа, а ${\displaystyle H}$ — её замкнутая подгруппа, причём факторизация ${\displaystyle \pi :G\to G/H}$ имеет локальные сечения, то ${\displaystyle \pi }$ является расслоением со слоем ${\displaystyle H}$ (Steenrod 1951, §7).
• Лист Мёбиуса — пространство нетривиального расслоения над окружностью.
• Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}=S^{3}/S^{1}}$. Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой ${\displaystyle U(1)}$, а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
• Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство ${\displaystyle B}$), общий слой (пространство ${\displaystyle F}$) и отображения перехода (1-коцикл Чеха ${\displaystyle \{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$) для какого-нибудь открытого покрытия пространства ${\displaystyle B}$. Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида ${\displaystyle \{(\alpha ,x,f_{\alpha }):\,x\in U_{\alpha },\,f_{\alpha }\in F\}}$ с правилом отождествления:

${\displaystyle (\alpha ,x,f_{\alpha })=(\beta ,x,f_{\beta })}$, если ${\displaystyle f_{\beta }=u_{\beta \alpha }f_{\alpha }}$

Свойства

• Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы ${\displaystyle \pi :E\to B}$ — локально тривиальное расслоение, отображения ${\displaystyle g\colon M\to B}$ и ${\displaystyle f\colon M\to E}$, так что ${\displaystyle g=\pi \circ f}$, и гомотопия ${\displaystyle {\tilde {g}}\colon M\times [0;1]\to B}$ отображения ${\displaystyle g}$ (то есть ${\displaystyle {\tilde {g}}(m,0)=g(m)}$). Тогда существует гомотопия ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon M\times [0;1]\to E}$ отображения ${\displaystyle f}$, такая что ${\displaystyle {\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}}$, то есть следующая диаграмма коммутативна

  ${\displaystyle {\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde {g}}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrix}}}$

• Пусть имеется локально тривиальное расслоение ${\displaystyle E\to B}$ со слоем ${\displaystyle F}$ (иногда записываемое формально как ${\displaystyle F\to E\to B}$). Тогда последовательность гомотопических групп точна:

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)}$

• Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:

Если ${\displaystyle x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$, то ${\displaystyle u_{\beta \alpha }(x)=u_{\beta \gamma }(x)\circ u_{\gamma \alpha }(x)}$.

• Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа ${\displaystyle \mathrm {Aut} \,F}$ некоммутативна, одномерные когомологии ${\displaystyle H^{1}(B,\mathrm {Aut} \,F)}$ не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха ${\displaystyle C^{0}(B,\mathrm {Aut} \,F)}$:

  ${\displaystyle u_{\alpha \beta }'(x)=f_{\alpha }(x)\circ u_{\alpha \beta }(x)\circ f_{\beta }(x)^{-1}}$,

где ${\displaystyle \{f_{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$ — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха ${\displaystyle \{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$. 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

• Для любого локально тривиального расслоения ${\displaystyle \pi :X\to B}$ и непрерывного отображения ${\displaystyle f:B'\to B}$ индуцированное расслоение ${\displaystyle f^{*}(\pi )}$ является локально тривиальным.

Вариации и обобщения

• Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
  • расслоений Гуревича и
  • расслоений Серра.

• Если пространства ${\displaystyle E,B,F}$ — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение ${\displaystyle \pi }$ — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким расслоением.
• Расслоение называется голоморфным, если пространства ${\displaystyle E,B,F}$ — комплексные многообразия, отображение ${\displaystyle \pi }$ — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
• Главное расслоение.

См. также

• Теория Янга — Миллса

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0 

Эта страница в последний раз была отредактирована 23 октября 2022 в 15:25.