Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Пример накрытия: накрытие  R → S 1 {\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}  окружности  S 1 {\displaystyle S^{1}}  спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел  R {\displaystyle \mathbb {R} }
Пример накрытия: накрытие окружности спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство , такое, что у любой точки найдётся окрестность , полный прообраз которой представляет собой объединение попарно непересекающихся областей :

,

причём на каждой области отображение является гомеоморфизмом между и .

Формальное определение

Covering space diagram.svg

Отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство называется накрытием, если у любой точки имеется окрестность , для которой существует гомеоморфизм , где  — дискретное пространство, такое что если обозначает естественную проекцию, то

.

Связанные определения

  • Пространство называется базой накрытия, а  — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
  • Прообраз точки называют слоем над точкой .
  • Число областей в полном прообразе называется числом листов.
    • Если это число конечно и равно , то накрытие называется -листным.
  • Накрытие называется универсальным если для любого другого накрытия существует накрытие такое, что .

Примеры

  • Пусть обозначает единичную окружность комплексной плоскости .
    • ,   .
    • ,   , где , .

Свойства

  • Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
  • Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
  • Все двулистные накрытия регулярны.
  • Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности и и также локальной односвязности . При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами и : если , то индуцированный гомоморфизм , отображает изоморфно на подгруппу в и, меняя точку в , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы (то есть  — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы на , причём оказывается факторотображением на пространство орбит . Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле , , сопоставить единственный путь , для которого и , то точка будет зависеть только от класса этой петли в и от точки . Таким образом, элементу из отвечает перестановка точек в . Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки . Это определяет гомеоморфизм коммутирующий с .

Гавайская серьга — пример пространства, не имеющего универсального накрытия
Гавайская серьга — пример пространства, не имеющего универсального накрытия
Пространство неодносвязного универсального накрытия
Пространство неодносвязного универсального накрытия


В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в , то есть имеется действие на , называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе однозначно строится накрытие , для которого образ есть .

Для любого отображения линейно связного пространства в поднятие его до отображения существует тогда и только тогда, когда образ лежит в . Между накрытиями имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в . В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Литература

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
  • Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).
Эта страница в последний раз была отредактирована 2 декабря 2020 в 13:40.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).