Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Гомеоморфность кружки и бублика (полнотория)

Гомеоморфи́змнепрерывное обратимое преобразование пространства. Является центральным понятием топологии.

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства эквивалентны.

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.

Определение

Пусть и — два топологических пространства. Функция называется гомеоморфизмом, если:

Иными словами, биективна и для любого подмножества условие выполняется в том и только в том случае, если .

Если между пространствами и существует гомеоморфизм, то пишут или и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.

Примеры

  • Произвольный открытый интервал гомеоморфен всей вещественной прямой . Гомеоморфизм задаётся, например, формулой
В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.
  • Отрезок не гомеоморфен вещественной прямой . Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.
  • Если , то .
  • Теорема о гомеоморфизме[источник не указан 393 дня]. Пусть — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть — биекция. Тогда является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда строго монотонна и непрерывна на

Топологические инварианты и свойства

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть  топологическим многообразием.

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.

Локальный гомеоморфизм

Непрерывное отображение топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства имеется такая окрестность , что образ открыт в и сужение является гомеоморфизмом[1].

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой в окружность . Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений и первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.

См. также

Примечания

Литература

  • Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
  • Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
  • Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. Элементарная топология. — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 17 июня 2023 в 13:56.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).