Выразимость в радикалах

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Для чисел

Первичные определения

Стандартное определение

Элемент ${\displaystyle a}$ поля ${\displaystyle F}$ называется выразимым в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля ${\displaystyle G}$, значение которого равно ${\displaystyle a}$. В случае, если в поле ${\displaystyle F}$ корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа ${\displaystyle a}$ хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть ${\displaystyle G}$ является подполем поля ${\displaystyle F}$. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s}}$, что ${\displaystyle G_{0}=G}$ и ${\displaystyle G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})}$^[nb 1] для любого ${\displaystyle i}$ от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle s}$, где ${\displaystyle \alpha _{i}}$ — такое число из поля ${\displaystyle F}$, что для некоторого натурального ${\displaystyle n_{i}}$ число ${\displaystyle \alpha _{i}^{n_{i}}}$ принадлежит ${\displaystyle G_{i-1}}$. Число ${\displaystyle a\in F}$ называется выразимым в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если при некотором ${\displaystyle s}$ для него найдутся такие наборы ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и ${\displaystyle n_{i}}$, что ${\displaystyle a\in G_{s}}$^[1].

Прочие определения

• Действительное число ${\displaystyle x}$ называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ поля действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Корни чётной степени в принимающем значение ${\displaystyle x}$ алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
• Комплексное число ${\displaystyle z}$ (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ поля комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение ${\displaystyle z}$, может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней ${\displaystyle n}$-ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
• Элемент ${\displaystyle a}$ поля ${\displaystyle F}$ называется выразимым в радикалах степени ${\displaystyle n}$ над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если некоторое алгебраическое выражение с числами из ${\displaystyle G}$, значение которого равно ${\displaystyle a}$, из возможных корней содержит только корни степени ${\displaystyle n}$. В частности, при ${\displaystyle n=2}$ число ${\displaystyle a}$ называется выразимым в квадратных радикалах, а при ${\displaystyle n=3}$ выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа ${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2}}}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}}$ являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент ${\displaystyle a}$ поля ${\displaystyle F}$ называется выразимым в радикалах степени ${\displaystyle n}$ над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если он выразим в радикалах над полем ${\displaystyle G}$ и все ${\displaystyle n_{i}}$, участвующие в определении выразимости в радикалах для ${\displaystyle a}$, данном выше, равны ${\displaystyle n}$^[1].
• Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым^[2].
• Пусть ${\displaystyle K}$ — поле. Тогда поле ${\displaystyle K({\sqrt[{n}]{a}})}$^[nb 2], где ${\displaystyle a\in K}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\notin K}$, называется радикальным расширением поля ${\displaystyle K}$^[3]. Таким образом, в построенной выше цепочке полей ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s}}$ каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае ${\displaystyle n=2}$ указанное поле называется квадратичным расширением поля ${\displaystyle K}$, то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя^[4].
• Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за ${\displaystyle n}$ радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно ${\displaystyle n}$^[5].

Примеры

• Число ${\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}}$ выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида ${\displaystyle 2^{n}}$, где ${\displaystyle n}$ — натуральное, так как ${\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}={\sqrt[{2^{n}}]{{\Big (}3+{\sqrt[{2^{n}}]{8^{2^{n-1}}}}{\Big )}^{2^{n-1}}}}}$.
• Число ${\displaystyle {\sqrt {6+{\sqrt {32}}}}+{\sqrt {6-{\sqrt {32}}}}}$ также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида ${\displaystyle 2^{n}}$, однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как ${\displaystyle {\sqrt {6+{\sqrt {32}}}}+{\sqrt {6-{\sqrt {32}}}}=4={\sqrt[{n}]{4^{n}}}}$ для любого ${\displaystyle n}$.
• Не всегда сразу можно определить и такое минимальное ${\displaystyle n}$, что рассматриваемое число выразимо за ${\displaystyle n}$ радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число ${\displaystyle {\sqrt {17+{\sqrt {288}}}}}$ на самом деле равно ${\displaystyle {\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3+{\sqrt {8}}}$ и является выразимым за один квадратный радикал.
• Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы.
• Число ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}}$ выразимо в радикалах над подполем ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )}$ поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$, так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа ${\displaystyle \pi }$, но не выразимо в действительных радикалах, так как ${\displaystyle \pi \notin \mathbb {Q} }$. В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для ${\displaystyle \pi }$, которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).

Пояснения

• Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.

Для функций, многочленов и уравнений

Первичные определения

Стандартное определение

Функция ${\displaystyle f}$, принимающая значения в поле ${\displaystyle F}$ и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля ${\displaystyle G}$ и указанные параметры, значение которого совпадает со значением ${\displaystyle f}$ при любых допустимых значениях этих параметров^[6].

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть ${\displaystyle G}$ является подполем поля ${\displaystyle F}$. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей ${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s}}$, элементами которых являются функции из ${\displaystyle F}$ (возможно, без нескольких точек во избежание деления на ноль) в ${\displaystyle F}$, что ${\displaystyle K_{0}}$ состоит из всех рациональных функций над ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle K_{i}=K_{i-1}(f_{i})}$^[nb 3] для любого ${\displaystyle i}$ от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle s}$, где ${\displaystyle f_{i}}$ — такая непрерывная функция на ${\displaystyle F}$, что для некоторого натурального ${\displaystyle n_{i}}$ функция ${\displaystyle f_{i}^{n_{i}}}$ принадлежит ${\displaystyle K_{i-1}}$. Функция ${\displaystyle f\colon F\to F}$ называется выразимой в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если при некотором ${\displaystyle s}$ для неё найдутся такие наборы ${\displaystyle f_{i}}$ и ${\displaystyle n_{i}}$, что ${\displaystyle f\in K_{s}}$.

Прочие определения

• Многозначная функция ${\displaystyle f}$ называется выразимой в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$, если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$.
• Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
• Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении^[4][7].
• К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, определённая как ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x}}}}}$ на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.

Примеры

• Многозначная функция ${\displaystyle f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}}$ выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций ${\displaystyle g(x)}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}}$, где ${\displaystyle {\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}}$ — алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
• Многочлен ${\displaystyle x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x}$ разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом ${\displaystyle a}$ его корни задаются функцией ${\displaystyle x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}}$. Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число ${\displaystyle a}$ принадлежит множеству неположительных чисел.

Пояснения

• В случае с комплексной функцией без уточнения подполя ${\displaystyle G}$ оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

Общие свойства

• Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
• Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от ${\displaystyle G_{i-1}}$ к ${\displaystyle G_{i}}$ в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения ${\displaystyle 5}$ степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
• Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен ${\displaystyle 5}$ степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, ${\displaystyle x^{5}-4x+2}$^[2]). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.

Геометрические и тригонометрические теоремы

• Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины ${\displaystyle 1}$ отрезок длины ${\displaystyle x}$ построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle x}$ является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах)^[2][1][8][9]. Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ соответственно^[1].
• В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин ${\displaystyle a_{1},a_{1},\dots ,a_{n}}$ отрезок длины ${\displaystyle a}$ можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots ,a_{n})}$^[1].
• Теорема Гаусса: Число ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}}$ вещественно построимо тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k}}$, где все ${\displaystyle p_{i}}$ — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big )}}$ не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big )}}$, а значит, и произвольного угла, невозможно^[2][1]. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a^{2}}}}$, что возможно только при ${\displaystyle a=2^{k}}$.

Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на ${\displaystyle 3}$.

• Теорема Гаусса — Ванцеля также сразу следует из приведённой выше теоремы Гаусса и гласит, что правильный ${\displaystyle n}$-угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k}}$, где все ${\displaystyle p_{i}}$ — попарно различные простые числа Ферма, то есть тогда и только тогда, когда косинус его центрального угла, равного ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}\,(\mathrm {rad} )}$, вещественно построим^[2][9][4].
• Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного ${\displaystyle \pi \,(\mathrm {rad} )}$, выразим в комплексных радикалах, так как ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\frac {1}{u_{2}}}{\Big )}}$, где ${\displaystyle u_{2}}$ — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big )}}$ выражается через ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}}$ или ${\displaystyle \sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}}}}$ при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна ${\displaystyle n}$: например, ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)}$, то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью).

Теоремы о функциях

• Группа Галуа выражающейся в комплексных радикалах функции разрешима^[6]. (В данном случае под "группой Галуа функции" подразумевается группа перестановок листов римановой поверхности функции, порождённая кольцевыми перестановками вокруг точек разветвления этой поверхности.)
• Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных:

${\displaystyle \left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'}$

${\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}$

${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}}$

• Однако обратное неверно: например, производные обратных тригонометрических функций выразимы в радикалах над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, в то время как сами обратные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями, то есть не являются алгебраическими (а любая выразимая в радикалах функция, как уже было сказано выше, является алгебраической):

${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

${\displaystyle \arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$

Теоремы о многочленах

• Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа в общем виде разрешима^[10].
• Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени ${\displaystyle n}$ с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно ${\displaystyle n}$ действительных^[2][3]. Из этого путём построения неприводимого многочлена ${\displaystyle 5}$ степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить ${\displaystyle x^{5}-4x-2}$) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$:
• Теорема Абеля-Руффини, гласящая, что уравнения любой степени, не меньшей ${\displaystyle 5}$, с целыми коэффициентами не разрешимы в радикалах в общем виде (то есть при параметризации всех их коэффициентов).
• Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до ${\displaystyle 4}$ включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов ^[2][5]. Более того, как видно из формул для решения всех этих уравнений (для ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle 4}$ степеней см. Формула Кардано и Формула Феррари), они разрешимы даже над полем рациональных чисел.

Формулы для решения уравнений степеней ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$

1. ${\displaystyle ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}}$.
2. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$
3. Одно из решений уравнения ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ равно ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}}$, где ${\displaystyle p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}}$ и ${\displaystyle q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}}$ (следует взять такие значения кубических корней, чтобы число ${\displaystyle -{\frac {p}{3}}}$ было равно их произведению). Путём вынесения множителя с этим корнем кубическое уравнение преобразовывается в произведение линейного и квадратного, решения для которых даны выше.

Полная формула для одного из решений уравнения ${\displaystyle 3}$ степени

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}}$

Формулы для степени ${\displaystyle 4}$ в полной форме слишком громоздки.

• Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до ${\displaystyle 9}$ степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени ${\displaystyle 2n+1}$ имеют вид ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))}$ и представляются в виде произведения скобки ${\displaystyle (x+\lambda )}$ и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))}$ и может быть при ${\displaystyle x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0}$ записано в виде ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}}$, что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}}$ степени ${\displaystyle n}$. По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до ${\displaystyle n=4}$, следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени ${\displaystyle 2\cdot 4+1=9}$^[11].
• Также нетрудно убедиться по индукции по ${\displaystyle n}$, что разрешимы в радикалах в общем виде многочлены вида ${\displaystyle P_{1}(P_{2}(\dots P_{n}(x)\dots ))}$, где ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n}}$ — многочлены степени не выше ${\displaystyle 4}$. Частный случай вида ${\displaystyle P(x^{2})}$, где ${\displaystyle P}$ - многочлен ${\displaystyle 2}$ степени, называется биквадратным уравнением и, будучи записанным в виде ${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c}$, имеет четыре корня, равные ${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}$.
• Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — неприводимый многочлен над полем ${\displaystyle K}$, а ${\displaystyle L}$ — поле его разложения. Многочлен ${\displaystyle f(x)}$ разрешим в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \dim _{K}L=2^{n}}$ (то есть размерность ${\displaystyle L}$ как линейного пространства над полем ${\displaystyle K}$ равна ${\displaystyle 2^{n}}$ для некоторого натурального ${\displaystyle n}$)^[1].

Происхождение термина

Под «радикалами» во всех рассмотренных словосочетаниях подразумеваются математические корни целой степени — это слово ведёт своё происхождение от латинского слова «radix», имеющего, помимо прочего, то же значение. Так как операции сложения и умножения вместе с обратными к ним, также разрешённые в алгебраических выражениях, формально определяются до возведения в степень, а значит, и корня, именно корень, как "крайняя" допустимая операция, фигурирует в названии свойства.

Сноски

Примечания

Литература

• "Решение уравнений с использованием одного радикала" (Летняя конференция Турнира Городов)
• А.Скопенков "Ещё несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах"
• Лекция в НИУ ВШЭ
• Алексеев В.Б. "Теорема Абеля в задачах и решениях"

Эта страница в последний раз была отредактирована 9 декабря 2023 в 10:36.