Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

6 перестановок трёх шаров;

В комбинаторике перестано́вкой заданного конечного множества (все элементы различны) называется произвольный упорядоченный набор всех элементов (без повторений). Группируя эти элементы в разном порядке, можно получить различные перестановки. Всего из множества с элементами можно получить (-факториал) различных перестановок (см. рисунок)[1][2].

Перестановка является частным случаем размещения, когда выбираются все элементы множества[1].

Подстановка

Перестановку можно рассматривать как функцию, которая каждому элементу некоторой начальной перестановки сопоставляет соответствующий по номеру элемент данной перестановки. Такую функцию часто называют подстановкой[3]. Перестановка множества может быть наглядно представлена в виде таблицы:

где и .

Пример: перестановка элементов множества в обратном порядке:

Инверсией в перестановке называется всякая пара индексов такая, что и . Чётность числа инверсий в перестановке определяет чётность перестановки. Пример:

Здесь элементы 2 и 3 образуют инверсию.

Связанные определения

Носитель перестановки  — это подмножество множества , определяемое как

Неподвижной точкой перестановки является всякая неподвижная точка отображения , то есть элемент множества Множество всех неподвижных точек перестановки является дополнением её носителя в .

Специальные типы перестановок

  • Тождественная перестановка — перестановка которая каждый элемент отображает в себя:
  • Инволюция — перестановка которая является обратной самой себе, то есть
  • Беспорядок — перестановка без неподвижных точек.
  • Циклом длины называется такая подстановка которая тождественна на всём множестве кроме подмножества и Обозначается .
  • Транспозиция — перестановка элементов множества , которая меняет местами два элемента. Транспозиция является циклом длины 2.

Произведения циклов и знак перестановки

Перестановку можно представить в виде ориентированного графа, где вершинами являются элементы конечного множества, а связи между вершинами описывают переход. В случае, , для элемента рисуется петля. Таким образом, получается граф, где из каждой вершины выходит и входит одно ребро. Пример перестановки представленной в виде ориентированного графа можно увидеть на изображении справа.

Пример перестановки, представленной в виде ориентированного графа

Таким образом, любая перестановка может быть разложена в произведение (композицию) непересекающихся циклов длины , причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например:

Часто также считают, что неподвижные точки перестановки представляют собой самостоятельные циклы длины 1, и дополняют ими цикловое разложение перестановки. Для приведённого выше примера таким дополненным разложением будет . Число циклов разной длины, а именно набор чисел , где  — это число циклов длины , определяет цикловую структуру перестановки. При этом величина равна длине перестановки, а величина равна общему числу циклов. Число перестановок из элементов с циклами даётся числом Стирлинга первого рода без знака .

Любой цикл может быть разложен в произведение (не обязательно непересекающихся) транспозиций. При этом цикл длины 1 (являющийся по сути тождественной перестановкой ) можно представить как пустое произведение[англ.] транспозиций или, например, как квадрат любой транспозиции: Цикл длины можно разложить в произведение транспозиций следующим образом:

Разложение циклов на произведение транспозиций не является единственным:

Таким образом, любая перестановка может быть разложена в произведение транспозиций. Хотя это можно сделать многими способами, чётность числа транспозиций во всех таких разложениях одинакова. Это позволяет определить знак перестановки (чётностью перестановки или сигнатурой перестановки) как:

где  — число транспозиций в каком-то разложении . При этом называют чётной перестановкой, если , и нечётной перестановкой, если .

Эквивалентно, знак перестановки определяется её цикловой структурой: знак перестановки из элементов, состоящий из циклов, равен

.

Знак перестановки также может быть определён через число инверсий в :

.

Вариации и обобщения

В теории групп под перестановкой произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя. Как синоним слову «перестановка» в этом смысле некоторые авторы используют слово подстановка. (Другие авторы подстановкой называют (приведённый выше) наглядный способ записи перестановки. Более существенное отличие состоит в том, что подстановка — это непосредственно функция, а перестановка — результат применения этой функции к элементам последовательности.)

Композиция определяет операцию произведения на перестановках одной длины: Относительно этой операции множество перестановок из элементов образует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают .

Любая конечная группа порядка изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы (теорема Кэли). При этом каждый элемент сопоставляется с перестановкой , задаваемой на элементах тождеством где  — групповая операция в .

Перестановки с повторением

Рассмотрим элементов различных типов, причём в каждом типе все элементы одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются перестановками с повторением. Если  — число элементов -го типа, то и число всевозможных перестановок с повторениями равно мультиномиальному коэффициенту

Перестановку с повторениями можно также рассматривать как перестановку мультимножества мощности .

Случайная перестановка

Случайной перестановкой называется случайный вектор все элементы которого принимают натуральные значения от 1 до и при этом вероятность совпадения любых двух элементов равна 0.

Независимой случайной перестановкой называется такая случайная перестановка , для которой:

для некоторых таких, что:

Если при этом не зависят от , то перестановку называют одинаково распределённой. Если же нет зависимости от , то есть то называют однородной.

См. также

Примечания

  1. 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — С. 293—294. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  2. Виленкин Н.Я. Глава III. Комбинаторика кортежей и множеств. Размещения с повторениями // Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. — С. 80. — 208 с. Архивировано 14 октября 2010 года.
  3. Математическая энциклопедия, 1984.

Литература

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 17 января 2024 в 17:38.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).