Теорема Гаусса — Ванцеля

Теоре́ма Га́усса — Ванце́ля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный ${\displaystyle n}$-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки.

Формулировка

Правильный ${\displaystyle n}$-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}}$, где ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle m}$ — неотрицательные целые числа, а ${\displaystyle p_{i}}$ — различные простые числа Ферма.

Замечания

• Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$ является степенью числа два.
• В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма:

${\displaystyle 3,\,5,\,17,\,257,\,65537;}$^[1]

поэтому (до открытия новых простых Ферма) с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным ${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537=2^{32}-1}$ = 4294967295.

• Правильный ${\displaystyle n}$-многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины ${\displaystyle 1}$ можно построить отрезок, длина которого равна ${\displaystyle \cos {\tfrac {2\cdot \pi }{n}}}$ — косинусу центрального угла данного ${\displaystyle n}$-многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.

История

Античным геометрам были известны способы построения правильных ${\displaystyle n}$-угольников для ${\displaystyle n=2^{k},3\cdot 2^{k},5\cdot 2^{k}}$ и ${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 2^{k}}$.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных ${\displaystyle n}$-угольников при ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}}$, где ${\displaystyle p_{i}}$ — различные простые числа Ферма. (Здесь случай ${\displaystyle m=0}$ соответствует числу сторон ${\displaystyle n=2^{k}}$.)

В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

• Построение правильного семнадцатиугольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
• Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году^[2].
• В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом десятилетней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

Ссылки

• Жак Сезиано История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса Семинар по истории математики 4 мая 2017 года 18:00, Санкт-Петербург, ПОМИ, Фонтанка 27, аудитория 106.

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 11 декабря 2023 в 10:51.