Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.
Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.
Пусть на отрезке определена функция вещественного переменного .
Разбиением отрезка будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки и . [1] Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения обозначим за , причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):
.
Множество всех разбиений отрезка обозначим за .
Частичным отрезком разбиения назовём отрезок .
Длину частичного отрезка разбиения обозначим за .
Диаметром разбиения назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения .[2]
Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за и .
,
.
Тогда, нижней суммой Дарбу функции на разбиении называется
Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.
Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.[5]
Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.[6]
Свойства
Свойства сумм Дарбу
При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.[7]
Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.[4]
При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.[7]
— измельчение .
Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.
Пусть d — диаметр , измельчение — получено добавлением не более чем точек к , и — точные грани функции на отрезке . Тогда
Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении.[7] Пусть — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении . Тогда
,
.
Свойства интегралов Дарбу
Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны.[9] Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен , для неограниченной снизу нижний интеграл равен .
Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.[5]
и
и
Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.
Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на ограниченной на этом отрезке функции равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.
По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть — измеримое по Жордану множество, — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за .
За обозначим меру Жордана .
Множество всех разбиений будем обозначать .
Диаметр разбиения определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).
Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за и .
,
.
Тогда, нижней суммой Дарбу функции на разбиении называется
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных (рус.). — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.