Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Криволинейный интеграл

Из Википедии — свободной энциклопедии

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

Определение

Начальные условия

Кривая

Пусть  — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

где rрадиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой При этом не играет роли, что больше — b или a.[1]

Интегрируемая функция

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой или

Разбиение

Разбиение отрезка параметризации

  • Пусть дано разбиение отрезка (или ) то есть множество  где:
    • если
    • или если
  • Мелкостью этого разбиения называется число обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.
  • Введём набор промежуточных точек разбиения — точек каждая из которых лежит между и ().

Разбиение кривой

  • Зададим разбиение кривой которое соответствует разбиению отрезка параметризации.
  • За обозначим часть кривой от значения параметра до значения где
  • Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек каждая из которых лежит на ().

Интегральные суммы

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки разбиение и участки кривой Рассмотрим две интегральные суммы:

  • интегральную сумму для интеграла первого рода:
    где |lk| — длина участка lk;
  • интегральную сумму для интеграла второго рода:
где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(tk) − r(tk−1).

Криволинейный интеграл

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции () по кривой Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция () интегрируема по кривой Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка принято писать

Криволинейный интеграл первого рода

Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле
Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

Свойства

  1. Линейность:
  2. Аддитивность: если и пересекаются в одной точке, то
  3. Монотонность: если на , то
  4. Теорема о среднем: при непрерывности функции на для интеграла возможно подобрать такую точку что
    или, что то же самое,
  5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:
  6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть  — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой Тогда в общем случае

или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

где точкой обозначена производная по t.

Криволинейный интеграл второго рода

Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле
Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3.

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление

Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой Тогда

а при изменении обхода кривой:

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Если обозначить за единичный вектор касательной к кривой который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:

В терминах самих интегралов это выглядит так:

где  — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция интегрируема на ней.

Трёхмерное евклидово пространство

В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

Тогда, раскладывая скалярное произведение в по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

Механические приложения

  • Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом
  • Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор rc как
где m — масса кривой l.
  • Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:
где μ(r) — линейная плотность кривой l, γ — гравитационная постоянная.

См. также

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 8 июня 2021 в 10:38.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).