Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Преобразование Мелера — Фока

Из Википедии — свободной энциклопедии

Преобразование Мелера — Фока функции имеет вид:

где сферическая функция Лежандра первого рода. Если вещественная функция, причём

тогда интеграл , понимаемый в смысле Лебега, представляет вещественную функцию, определённую для любых .

Обратное преобразование имеет вид:

Данное преобразование было впервые введено Г. Ф. Мелером в 1881 году, основные касающиеся его теоремы были доказаны В. А. Фоком.

Преобразование Мелера — Фока находит применение при решении задач теории потенциала, теории теплопроводности, при решении линейных интегральных уравнений и других задач математической физики.

Другие определения

Иногда определение распространяют и на , полагая

В основе теории преобразования Мелера — Фока лежит разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье:

На его основе могут быть получены другие возможные определения преобразования Мелера — Фока.

В литературе встречается определение:

Тогда, если , — локально интегрируема на и , верна формула обращения:

Вычисление

Фактическое вычисление преобразования Мелера — Фока осуществляется посредством интегральных представлений функций Лежандра и последующей смены порядка интегрирования.

Примерами, таких интегральных представлений являются:

(данное представление также называют интегралом Мелера)

Равенство Парсеваля

Для преобразования Мелера — Фока может быть получен аналог равенства Парсеваля для преобразования Фурье.

Пусть — две произвольные функции, удовлетворяющие условиям:

а преобразование Мелера — Фока задано равенствами:

тогда выполнено равенство Парсеваля для преобразования Мелера — Фока:

Пример использования

Рассмотрим пример решения с помощью преобразования Мелера — Фока интегрального уравнения:

Пусть преобразования Мелера — Фока

существуют.

Тогда уравнение может быть преобразовано к виду:

откуда:

Если — непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале причём

то посредством формулы обращения получим решение исходного уравнения:

Обобщённое преобразование Мелера — Фока

Обобщённое преобразование Мелера — Фока задаётся формулой:

где — присоединённые функции Лежандра 1-го рода.

Соответствующая формула обращения:

Частные случаи

  1. При получится случай обычного преобразования Мелера — Фока .
  2. При получится косинус-преобразование Фурье.
  3. При получится синус-преобразование Фурье.

Литература

  • Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
Эта страница в последний раз была отредактирована 15 января 2014 в 05:56.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).