Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Тригонометрический ряд Фурье

Из Википедии — свободной энциклопедии

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда

(1)

или с использованием комплексной записи, в виде ряда:

.

Скалярное произведение и ортогональность

Пусть ,  — две функции пространства . Определим их скалярное произведение

Условие ортогональности

где  — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида , попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных :

и при всех целых неотрицательных ,

.

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве . Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида , то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определение

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида

(1)

где

Числа , и () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для

Ряд (1) сходится к функции в пространстве . Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):

,

то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:

.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная запись

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство  комплекснозначных функций со скалярным произведением

.

Мы также рассматриваем систему функций

.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:

,

где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь

.

Коэффициенты : связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

  • Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения и не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве .

  • Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
  • Справедливо равенство Парсеваля:
.
  • Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
  • коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей:
  • рассмотрим операцию свертки функций:

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка на всю прямую. Тогда

Разложения некоторых функций в ряд Фурье

Функция Ряд Фурье
Меандр-2.png
Меандр.png

См. также

Примечания

Литература

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
Эта страница в последний раз была отредактирована 8 августа 2021 в 12:04.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).