В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия . Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки многообразия , но и от выбора корепера, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке (см. также Карта).
Формальное определение структуры на многообразии
Для формального определения структур на многообразии рассмотрим — общую дифференциальную группу порядка (группу -струй в нуле преобразований пространства , сохраняющих начало координат), — многообразие кореперов порядка -мерного многообразия (то есть многообразие -струй локальных карт с началом в точке ).
Группа действует слева на многообразии по формуле
Это действие определяет в структуру главного -расслоения , называемого расслоением кореперов порядка .
Пусть теперь — произвольное -многообразие, то есть многообразие с левым действием группы , a — пространство орбит левого действия группы в . Расслоение , являющееся естественной проекцией пространства орбит на и ассоциированное как с , так и с , называется расслоением геометрических структур типа порядка не больше , а его сечения — структурами типа . Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с -зквивариантными отображениями .
Таким образом, структуры типа можно рассматривать как -значную функцию на многообразии -реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:
Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия действует как группа автоморфизмов .
Если есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы , то структуры типа называются линейными (соответственно аффинными).
Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть , и — пространство тензоров типа с естественным тензорным представлением группы . Структура типа называется тензорным полем типа . Её можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов , сопоставляющую кореперу набор координат тензора относительно стандартного базиса
пространства . При линейном преобразовании коронера координаты преобразуются по тензорному представлению:
Важнейшими примерами тензорных структур являются:
- векторное поле;
- дифференциальная форма;
- метрический тензор;
- симплектическая структура;
- комплексная структура.
Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского[1].
Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа , где — ядро естественного гомоморфизма , которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы .
Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle G}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="G" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;"/></span>-структур. Их можно определить как структуры типа , где — однородное пространство группы .
Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие -структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на -структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.
Литература
- Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
- Веблен, О., Уайтхед, Дж. Основания дифференциальной геометрии. — М.: ИИЛ, 1949. — 230 с.
- Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 413 с.
- Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. — М.: МГУ, 1987. — 190 с.
- Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.
См. также
- <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle G}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="G" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;"/></span>-структура
- <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle (B,\;\varphi )}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (B,\;\varphi )}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle (B,\;\varphi )}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f943a2b7a86169dbddc6a381e87b690371cccc58" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.773ex; height:2.843ex;"/></span>-структура
- <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle C^{k}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="C^k" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167fdb0cfb5644c4623b5842e1a9141acd83b534" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.887ex; height:2.676ex;"/></span>-структура
- <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle pl}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle pl}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle pl}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f317aff909cc26f00d173851339b6bde6d3d68b5" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.952ex; height:2.509ex;"/></span>-структура
- <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle \Gamma }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img alt="\Gamma " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;"/></span>-структура
- Контактная структура
- Почти комплексная структура
- Алгебраическая структура
- Топологическая структура
- Структура Ходжа
- Математическая структура
Примечания
- ↑ Рашевский П. К. Труды Московского математического общества. — 1957. — т. 6. — с. 337—370.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.