Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Алгебраическая система

Из Википедии — свободной энциклопедии

Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

-арная операция на  — это отображение прямого произведения экземпляров множества в само множество . По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы, кольца, решётки; в частности, таковы конструкции подсистемы (обобщающей понятия подгруппы, подкольца, подрешётки соответственно), гомоморфизма, изоморфизма, факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции фактогруппы, факторкольца, факторешётки). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре, при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова теорема о гомоморфизме, которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры — уточняется до теорем об изоморфизме, известных ранее из теории групп и теории колец.

В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие «алгебраической структуры». В частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка. Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем, в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

Энциклопедичный YouTube

  • 1/5
    Просмотров:
    407
    983
    1 845
    1 611
    1 936
  • Порядки. Алгебраические системы. Дискретная математика. Лекция № 4. С.В. Судоплатов
  • Квантовая механика, Толстихин О. И. 04.09.2021г.
  • Алгебры: кольца, группы, поля (Шилинг Г.С.)
  • Теория функций комплексного переменного, Бунаков А.Э, лекция 1, 07.09.20
  • Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Ответы

Субтитры

Основные классы алгебраических систем

  • Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений[1].

Группоиды, полугруппы, группы

  • Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение имеет единственное решение для любых и .
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
  • Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом , таким, что .
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .
  • Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
  • Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что .
  • Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

  • Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности: .
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.
  • Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
  • Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Алгебры

Решётки

Примечания

  1. Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974. С.15

Литература

  • Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
  • Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
Эта страница в последний раз была отредактирована 27 мая 2022 в 08:45.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).