Постоянная Хинчина

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа ${\displaystyle K_{0}\approx 2{,}685452}$, равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

Постоянная Хинчина названа в честь Александра Яковлевича Хинчина, обнаружившего и доказавшего существование этой постоянной и формулу для неё в 1935 году^[1]. Обозначение ${\displaystyle K_{0}}$^[2] или ${\displaystyle K}$^[3] соответствует первой букве транслитерации фамилии «Хинчин» в европейских языках.

Определение

Для почти любого вещественного числа ${\displaystyle x}$ элементы ${\displaystyle a_{i}}$ его разложения в цепную дробь имеют конечное среднее геометрическое, не зависящее от ${\displaystyle x}$^[4]. Эта величина и называется постоянной Хинчина.

Иными словами, если

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$,

где ${\displaystyle a_{0}}$ целое, а остальные ${\displaystyle a_{i}}$ натуральные, то для почти всех ${\displaystyle x}$ выполняется

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,}6854520010\ldots }$ (последовательность A002210 в OEIS).

При этом постоянную Хинчина ${\displaystyle K_{0}}$ можно выразить в виде бесконечного произведения

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}}$.

Значимость

Разложение в цепную дробь любого вещественного числа — это последовательность натуральных чисел, и любая последовательность натуральных чисел является разложением в цепную дробь какого-либо вещественного числа, лежащего между 0 и 1. Тем не менее, если каким-либо образом случайно выбирать элементы последовательности натуральных чисел, то среднее геометрическое элементов, вообще говоря, совершенно не обязательно будет одним и тем же для всех или почти всех получаемых последовательностей. Поэтому существование постоянной Хинчина — то обстоятельство, что среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь оказывается одним и тем же для почти всех вещественных чисел, — это фундаментальное утверждение о вещественных числах и их разложениях в цепную дробь^[5], изящный и глубокий результат^[6], один из самых поразительных фактов в математике^[7].

Схема доказательства

Здесь приводится доказательство существования постоянной Хинчина и формулы для неё, принадлежащее Чеславу Рыль-Нардзевскому^[pl][8], которое проще доказательства Хинчина, не использовавшего эргодическую теорию^[9].

Поскольку первый элемент ${\displaystyle a_{0}}$ разложения числа ${\displaystyle x}$ в цепную дробь не играет никакой роли в доказываемом утверждении и поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то можно ограничиться рассмотрением иррациональных чисел на отрезке ${\displaystyle (0,1)}$, то есть множеством ${\displaystyle I=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }$. Эти числа имеют взаимно-однозначное соответствие с цепными дробями вида ${\displaystyle [0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]}$. Введём отображение Гаусса ${\displaystyle T\colon I\to I}$:

${\displaystyle T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]}$.

Для каждого борелева подмножества ${\displaystyle E}$ множества ${\displaystyle I}$ также определим меру Гаусса — Кузьмина:

${\displaystyle \mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}}$.

Тогда ${\displaystyle \mu }$ — вероятностная мера на сигма-алгебре Борелевых подмножеств ${\displaystyle I}$. Мера ${\displaystyle \mu }$ эквивалентна мере Лебега на ${\displaystyle I}$, но обладает дополнительным свойством: преобразование ${\displaystyle T}$ сохраняет меру ${\displaystyle \mu }$. Более того, можно показать, что ${\displaystyle T}$ — эргодическое преобразование измеримого пространства ${\displaystyle I}$, снабжённого мерой ${\displaystyle \mu }$ (это самый трудный момент в доказательстве). Тогда эргодическая теорема говорит, что для любой ${\displaystyle \mu }$-интегрируемой функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle I}$ среднее значение ${\displaystyle f\left(T^{k}x\right)}$ — одно и то же почти для всех ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}f\,d\mu }$ для почти всех ${\displaystyle x\in I}$ по мере ${\displaystyle \mu }$^[9].

Выбирая функцию ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1}}$, получаем:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\ln 2}}}$

для почти всех ${\displaystyle [0;a_{1},a_{2},\ldots ]}$ из ${\displaystyle I}$.

Беря экспоненту от обеих частей равенства, получаем слева среднее геометрическое первых ${\displaystyle n}$ элементов цепной дроби при ${\displaystyle n\to \infty }$, а справа — постоянную Хинчина^[9].

Разложение в ряд

Постоянная Хинчина может быть представлена в виде ряда^[10]:

${\displaystyle \ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}$,

или, разделяя члены ряда,

${\displaystyle \ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]}$,

где ${\displaystyle N}$ — некоторое фиксированное целое число, ${\displaystyle \zeta (s,q)}$ — дзета-функция Гурвица. Оба ряда быстро сходятся, потому что ${\displaystyle \zeta (n)-1}$ быстро приближается к нулю с ростом ${\displaystyle n}$. Можно также дать разложение через дилогарифм^[2]:

${\displaystyle \ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right]}$.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь различных чисел

Хотя среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь равно ${\displaystyle K_{0}}$ для почти всех чисел, но это не доказано практически ни для одного конкретного числа ${\displaystyle x}$, кроме тех, которые специально сконструированы так, чтобы удовлетворять этому утверждению^[3][11]. Такое число можно построить, задавая сразу элементы его разложения в цепную дробь, например, так: любое конечное число элементов в начале не окажут никакого влияния на предельное значение среднего геометрического, поэтому их можно взять любыми (например, можно взять первые 60 элементов равными 4); каждый последующий элемент берётся равным 2 или 3 в зависимости от того, больше или меньше постоянной Хинчина среднее геометрическое всех предшествующих элементов. Для данного конкретного примера, однако, не выполняется статистика Гаусса — Кузьмина.

К числам ${\displaystyle x}$, про которые известно, что среднее геометрическое элементов их разложения в цепную дробь не равняется постоянной Хинчина, относятся рациональные числа, квадратичные иррациональности (корни всевозможных квадратных уравнений с целыми коэффициентами) и основание натурального логарифма ${\displaystyle e}$. Хотя рациональных чисел и квадратичных иррациональностей бесконечно много, но они образуют множество меры ноль, и потому их не нужно включать в «почти все» числа из определения постоянной Хинчина.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь некоторых чисел, похоже (исходя из непосредственных вычислений средних для больших ${\displaystyle n}$), сходится к постоянной Хинчина, хотя ни в одном из этих случаев равенство в пределе не доказано. В частности, к этим числам относятся число π, постоянная Эйлера — Маскерони, число ${\displaystyle \sin 1}$, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, сама постоянная Хинчина. Последнее обстоятельство позволяет предположить, что постоянная Хинчина иррациональна, но точно неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональным, алгебраическим или трансцендентным числом^[3].

Средние степенные

Можно рассматривать постоянную Хинчина как частный случай среднего степенного элементов разложения чисел в цепную дробь. Для любой последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ среднее степени ${\displaystyle p}$ равняется

${\displaystyle K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}}$.

Если ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ — элементы разложения числа ${\displaystyle x}$ в цепную дробь, то ${\displaystyle K_{p}}$ для любого ${\displaystyle p<1}$ и почти всех ${\displaystyle x}$ даются формулой

${\displaystyle K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}}$.

Она получается вычислением соответствующего степенного среднего по статистике Гаусса — Кузьмина и соответствует выбору функции ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p}}$ в вышеизложенном доказательстве^[2][8]. Можно показать, что значение ${\displaystyle K_{0}}$ получается в пределе ${\displaystyle p\to 0}$.

В частности, можно получить среднее гармоническое элементов разложения в цепную дробь. Это число равно

${\displaystyle K_{-1}=1{,}74540566240\ldots }$ (последовательность A087491 в OEIS).

Примечания

Литература

• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Физматлит, 1960. — 112 с.
• Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. On the Khinchine constant (англ.) // Mathematics of Computation. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 417—431. — doi:10.1090/s0025-5718-97-00800-4. MR: 1377659.

Ссылки

• 1000000 знаков постоянной Хинчина после запятой на сайте факультета математики Барселонского университета

Эта страница в последний раз была отредактирована 24 октября 2023 в 21:38.