Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

График экспоненты  y = e x {\displaystyle y=e^{x}}  (синим). Касательная (красным) в нуле у функции  e x {\displaystyle e^{x}}  наклонена на  π 4   ( 45 ∘ ) {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })} .Рядом для примера показаны  y = 2 x {\displaystyle y=2^{x}}  (точками) и  y = 4 x {\displaystyle y=4^{x}}  (штрихами)
График экспоненты (синим).
Касательная (красным) в нуле у функции наклонена на .
Рядом для примера показаны (точками) и (штрихами)

Экспоне́нта — показательная функция , где  — число Эйлера.

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

или через предел:

.

Здесь  — любое комплексное число.

Свойства

  • , а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения с начальными данными . Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
  • Экспонента определена на всей вещественной оси. На ней экспонента всюду возрастает и строго больше нуля.
  • Экспонента — выпуклая функция.
  • Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
  • Преобразование Фурье экспоненты — обобщённая функция, а именно дельта-функция Дирака.
  • Преобразование Лапласа экспоненты определено в области .
  • Производная в нуле равна , поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом или .
  • Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
    .
    • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна , либо имеет вид , где  — некоторая константа.

Комплексная экспонента

График экспоненты в комплексной плоскости.Легенда
График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением , где есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты вещественного переменного :

Определим формальное выражение

.

Определённое таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

.

Сходимость данного ряда легко доказывается:

.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция всюду определена и аналитична.

Свойства

  • Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
  • периодическая функция с основным периодом 2πi: . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой .
  • — единственная с точностью до постоянного множителя функция, производная (а соответственно, и первообразная) которой совпадает с исходной функцией.
  • Алгебраически экспонента от комплексного аргумента может быть определена следующим образом:
    (формула Эйлера).

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием имеет своим решением

h-экспонента

Введение -экспоненты основано на втором замечательном пределе:

При получается обычная экспонента[1].

Обратная функция

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается :

См. также

Примечания

Литература

  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
  • Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 23 июня 2021 в 18:17.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).