Преобразование Гаусса

В математике, преобразование Гаусса или отображение Гаусса — (измеримая) динамическая система на отрезке [0, 1], заданная отображением

${\displaystyle T\colon x\mapsto \{1/x\},}$

где ${\displaystyle \{\cdot \}}$ обозначает дробную часть числа^[1]. Исследованная в конце XVIII — начале XIX века Гауссом, это одна из первых одномерных динамических систем.

Это преобразование «стирает» первое неполное частное в разложении числа в цепную дробь:

${\displaystyle T([0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ])=[0;a_{2},a_{3},\dots ].}$

Кроме того, оно обладает эргодической инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега:

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\ln 2}}\cdot {\frac {dx}{1+x}},\quad T_{*}\mu =\mu .}$

Применение к этой мере эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина влечёт существование постоянной Хинчина и утверждение о распределении элементов цепной дроби случайного числа ${\displaystyle x\in [0,1]}$ — статистика Гаусса — Кузьмина.

Примечания

Литература

• Аникин В. М., Голубенцев А. Ф. Аналитические модели детерминированного хаоса. — М.: Физматлит, 2007. — 328 с. — ISBN 978-5-9221-0879-9.
• В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 978-5-94057-441-5.
• John Derwent and Eric W. Weisstein. Gauss Map (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Эта страница в последний раз была отредактирована 19 июня 2023 в 20:09.