Короткая арифметика Гильберта

Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы, иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения, но и сложения. Этот пример принадлежит Давиду Гильберту^[1].

Определение

Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида ${\displaystyle 4n+1}$, где ${\displaystyle n}$ пробегает все натуральные числа^[2]:

${\displaystyle 1,5,9,13,17,\dots }$

Иногда их называют числа Гильберта^[3]. На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: ${\displaystyle (4a+1)(4b+1)=4(ab+a+b)+1}$. Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой.

Простые числа Гильберта

В арифметике Гильберта можно определить простые числа (простые числа Гильберта^[a]) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта, если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от ${\displaystyle 1}$)^[5][6]. Последовательность простых Гильберта начинается так^[7]:

${\displaystyle 5,9,13,17,21,29,33,37,41,49,\dots }$

Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле. Например, ${\displaystyle 21}$ является составным в натуральных числах, поскольку ${\displaystyle 21=3\cdot 7}$, однако оно является простым Гильберта, поскольку ни ${\displaystyle 3}$, ни ${\displaystyle 7}$ (то есть все делители числа ${\displaystyle 21}$, отличные от ${\displaystyle 1}$ и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю ${\displaystyle 4}$ следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида ${\displaystyle 4n+1}$ (такие числа называются простыми числами Пифагора), либо полупростым вида ${\displaystyle (4a+3)(4b+3)}$.

Невыполняемость основной теоремы арифметики

Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики: такое разложение может быть не единственным. Например, ${\displaystyle 441}$ является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:

${\displaystyle 441=9\cdot 49=21\cdot 21}$.

где числа ${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 49}$ и ${\displaystyle 21}$ являются простыми Гильберта^[1][4].

Примечания

Комментарии

Источники

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hilbert Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Основная теорема арифметики  (неопр.). Школа Опойцева — Лекции и Уроки. — Видеоурок. Дата обращения: 18 марта 2020.

Эта страница в последний раз была отредактирована 17 апреля 2022 в 04:48.