Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Арифметическая функция

Из Википедии — свободной энциклопедии

Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел и принимающая значения из множества комплексных чисел .

Определение

Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция

Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций натурального аргумента, выражающих те или иные арифметические свойства . Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию , которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа (см. примеры арифметических функций ниже).

Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.

Операции и связанные понятия

  • Суммой арифметической функции называют функцию , определённую как

Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на , её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).

  • Свёрткой Дирихле двух арифметических функций f и g называется арифметическая функция h, определённая по правилу
  • Арифметической функции f можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле

При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.

  • Поточечное умножение на логарифм,

является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,

Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.

Известные арифметические функции

Число делителей

Арифметическая функция определяется как число положительных делителей натурального числа :

Если и взаимно просты, то каждый делитель произведения может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей и делителей , и обратно, каждое такое произведение является делителем . Отсюда следует, что функция мультипликативна:

Если  — каноническое разложение натурального , то в силу мультипликативности

Так как положительными делителями числа являются чисел , то

Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как [1]. Более точно — см. формулу Дирихле.

Сумма делителей

Функция определяется как сумма делителей натурального числа :

Обобщая функции и для произвольного, вообще говоря комплексного , можно определить  — сумму -х степеней положительных делителей натурального числа :

Используя нотацию Айверсона, можно записать

Функция мультипликативна:

Если  — каноническое разложение натурального , то

Сумма делителей числа n растёт в среднем как линейная функция cn, где постоянная c найдена Эйлером и есть [1].

Функция Эйлера

Функция Эйлера , или тотиента, определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих , взаимно простых с .

Пользуясь нотацией Айверсона, можно записать:

Функция Эйлера мультипликативна:

В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой:

где  — различные простые делители .

Функция Мёбиуса

Функцию Мёбиуса можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению:

То есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа равна нулю, если , и равна , если .

Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой:

Здесь  — различные простые числа,  — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса равна , если не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей ).

Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.

Примечания

  1. 1 2 В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

См. также

Литература

  • Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
  • Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
  • Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел = Introduction to Analytic Number Theory. — М.: «Мир», 1974. — 188 с.
Эта страница в последний раз была отредактирована 23 августа 2020 в 09:08.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).