Уравнение седьмой степени

Уравне́ние седьмо́й сте́пени — алгебраическое уравнение, имеющее максимальную степень 7. В общем виде может быть записано следующим образом:

${\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,}$ где a ≠ 0. Если a = 0, то f(x) — уравнение шестой степени (b ≠ 0), уравнение пятой степени (b = 0, c ≠ 0) и так далее.

Уравнение может быть получено из функции, установив f(x) = 0. Коэффициенты a, b, c, d, e, f, g могут быть целыми числами, рациональными числами, действительными числами, комплексными числами или, в более общем случае, членами любого алгебраического поля.

Вследствие нечётности степени функции седьмой степени при построении графика выглядят аналогично функциям третьей и пятой степеней, за исключением того, что они могут обладать дополнительными локальными экстремумами (до трёх максимумов и трёх минимумов). Производной от функции седьмой степени является функция шестой степени.

Разрешимые уравнения седьмой степени

Отдельные уравнения седьмой степени могут быть решены путём разложения на радикалы. Французский математик Эварист Галуа разработал методы определения разрешимости уравнения с помощью радикалов, которые положили начало теории Галуа. Чтобы привести пример неприводимого, но разрешимого в обобщённом случае уравнения седьмой степени, можно обобщить разрешимое уравнение де Муавра пятой степени, чтобы получить функцию следующего вида:

${\displaystyle x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,}$, где ${\displaystyle y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,}$.

Это означает, что уравнение седьмой степени получается путём применения u и v: x = u + v, uv + α = 0, u⁷ + v⁷ + β = 0.

Из этого следует, что 7 корней уравнения седьмой степени имеют вид ${\displaystyle x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}}$, где ω_k — любой из 7 корней уравнения. Группа Галуа в этом случае является максимальной разрешимой группой 42-го порядка.

Другое разрешимый класс уравнений седьмой степени имеет вид:

${\displaystyle x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,}$

члены которого отображаются в базе данных числовых полей Клунера (англ. Kluner's Database of Number Fields). Его дискриминант имеет вид:

${\displaystyle \Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,}$

Группа Галуа данного класса уравнений — двугранная группа 14-го порядка.

Общее уравнение седьмой степени может быть решено с помощью чередующихся или симметричных групп A₇ или S₇.^[1] Для решения таких уравнений требуются гиперэллиптические функции и связанные с ними тета-функции 3-го рода.^[1] Однако математики XIX-го века, изучавшие решения алгебраических уравнений, намеренно не уделяли внимания этим уравнениям, поскольку решения уравнений шестой степени уже были на пределе их вычислительных возможностей без применения ЭВМ.^[1]

Уравнения седьмой степени — это уравнения низшего порядка, для которых не очевидно, что их решения могут быть получены путем наложения непрерывных функций двух переменных. Тринадцатая проблема Гильберта была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных. Владимир Игоревич Арнольд совместно с А. Н. Колмогоровым доказал в 1957 году, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением)^[2]:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\psi _{q,p}(x_{p})\right).}$

Функций ${\displaystyle \Phi _{q}}$ и ${\displaystyle \psi _{q,p}}$, не считая нулевых, требуется не более ${\displaystyle (n+1)(2n+1)}$ штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трёх — не более 28. Однако сам Арнольд считал, что подлинная сущность тринадцатой проблемы Гильберта заключается в том, могут ли быть получены решения уравнений седьмой степени путём наложения алгебраических функций двух переменных (проблема в данной формулировке по состоянию на 2023 год всё ещё остаётся открытой).^[3]

Группы Галуа

• Имеющие корни уравнения седьмой степени имеют группу Галуа, которая является либо циклической группой 7-го порядка, либо двугранной группой 14-го порядка, либо метациклической группой 21-го или 42-го порядка.^[1]
• Группа Галуа L(3, 2) (168-го порядка) образована перестановками 7 вершинных меток, которые сохраняют 7 «прямых» в плоскости Фано.^[1] Решения уравнений седьмой степени с данной группой Галуа L(3, 2) требуют анализа эллиптических, а не гиперэллиптических функций.^[1]
• В противном случае группа Галуа септика является либо чередующейся группой 2520-го порядка, либо симметричной группой 5040-го порядка.

Уравнение седьмой степени для квадрата площади вписанного пятиугольника или шестиугольника

Квадрат площади вписанного в окружность пятиугольника является корнем уравнения седьмой степени, коэффициенты которого являются симметричными функциями сторон пятиугольника. То же самое верно и для квадрата площади вписанного в окружность шестиугольника.^[4]

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} R. Bruce King (16 January 2009), Beyond the Quartic Equation, Birkhaüser, p. 143 and 144, ISBN 9780817648497, Архивировано из оригинала 6 августа 2023, Дата обращения: 14 ноября 2023
2. ↑ Vasco Brattka (13 September 2007), "Kolmogorov's Superposition Theorem", Kolmogorov's heritage in mathematics, Springer, ISBN 9783540363514, Архивировано из оригинала 6 августа 2023, Дата обращения: 14 ноября 2023
3. ↑ V.I. Arnold, From Hilbert's Superposition Problem to Dynamical Systems, p. 4, Архивировано из оригинала 24 сентября 2015, Дата обращения: 14 ноября 2023
4. ↑ Weisstein, Eric W. "Cyclic Hexagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1] Архивная копия от 8 июля 2014 на Wayback Machine

Эта страница в последний раз была отредактирована 18 декабря 2023 в 03:03.