Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом  ⋆ {\displaystyle \star } , её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — ◇, локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.
Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом , её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — , локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.[1]

Определения

Пусть дана функция и  — внутренняя точка области определения Тогда

  • называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
  • называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
  • называется точкой глобального (абсолютного) максимума, если
  • называется точкой глобального (абсолютного) минимума, если

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция определённая на множестве может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например,

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .
Тогда либо производная не существует, либо .

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции .

Достаточные условия существования локальных экстремумов

  • Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке .

  • Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии
и

является точкой локального максимума. А если

и

то является точкой локального минимума.

  • Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .

Если чётно и , то  — точка локального максимума. Если чётно и , то  — точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

См. также

Примечания

  1. Пшеничный, 1969, с. 7.
  2. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — Т. 1.

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 26 мая 2021 в 15:16.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).