Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Распределение Вейбулла

Из Википедии — свободной энциклопедии

Распределение Вейбулла
Probability distribution function
Плотность вероятности
Cumulative distribution function
Функция распределения
Обозначение
Параметры - коэффициент масштаба,
- коэффициент формы
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода для
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.

Определение

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью , имеющей вид:

Тогда говорят, что имеет распределение Вейбулла. Пишут: .

Если величину X принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда:

  • k < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
  • k = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
  • k > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем

В материаловедении коэффициент k известен как модуль Вейбулла.

Свойства

Функция плотности

Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < k < 1 плотность стремится к бесконечности при и строго убывает. Для k = 1 плотность стремится к 1/λ при и строго убывает. Для k > 1 плотность стремится к 0 при , возрастает до достижения своей моды и убывает после. Интересно отметить, что плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в x = 0 при 0 < k < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в x = 0 при 1 < k < 2, и нулевой угловой коэффициент в x = 0 при k > 2. При k = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в x = 0. При распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в x = λ. Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.

Функция распределения

Функция распределения Вейбулла:

при x ≥ 0, и F(x; k; λ) = 0 при x < 0

Квантиль распределения Вейбулла:

при 0 ≤ p < 1.

Интенсивность отказов h:

Моменты

Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла

где Γ — это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма X задаётся

Моменты случайной величины , имеющей распределение Вейбулла имеют вид

, где  — гамма-функция,

откуда

,
.

Коэффициент асимметрии задаётся функцией

Коэффициент эксцесса

где , так же может быть записан:

Производящая функция моментов

Существует множество выражений для производящей функции моментов самой

Так же можно работать непосредственно с интегралом

Если коэффициент k предполагается рациональным числом, выраженным k = p/q, где p и q целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.[1] С заменой t на -t, получается

где G — это G-функция Мейера.

Информационная энтропия

Информационная энтропия задаётся таким образом

где  — это Постоянная Эйлера — Маскерони.

Оценка коэффициентов

Наибольшее правдоподобие

Оценка максимального правдоподобия для коэффициента

Для

Условная функция надёжности Вейбулла

Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:

или

Для 3-х параметрического:

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё времени при условии, что он уже проработал .

График Вейбулла

Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла[2] . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — и Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя , где  — это ранг точки данных, а  — это общее количество точек.[3]

Использование

Распределение Вейбулла используется:

Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей
  • В прогнозировании погоды
    • Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике
  • В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами клаттеров
  • В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях
  • В прогнозировании технологических изменений
  • В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
  • В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
  • Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

Связь с другими распределениями

  • Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
  • 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности

где и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где  — коэффициент формы,  — коэффициент масштаба и  — коэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.

  • 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая и :

Если  — экспоненциальное распределение для параметра , то случайная величина имеет распределение Вейбулла . Для доказательства рассмотрим функцию распределения :

Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла.

.
  • С распределением Фреше: если , то .
  • С распределением Гумбеля: если , то .
  • Распределение Рэлея — частный случай распределения Вейбулла при и [4]
  • Распределение Вейбулла является частным случаем обобщённого распределения экстремальных значений[5]
  • Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте

функция распределения имеет вид

где

: Размер частицы
: 80-й процентиль распределения размера частиц
: Коэффициент, описывающий размах распределения

Примечания

  1. См. (Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004) для случая целого k, и (Sagias & Karagiannidis 2005) в случае рационального.
  2. график Вейбулла
  3. Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis. Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
  4. Rayleigh Distribution — MATLAB & Simulink — MathWorks Australia
  5. Всемирная Метеорологическая Организация. Руководство по гидрологической практике. — 6. — Швейцария, 2012. — Т. 2. — С. 165. — ISBN 978-92-63-40168-7..

Литература

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 28 апреля 2021 в 19:46.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).