Плотность вероятности Функция распределения
Обозначение
Beta
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}
Параметры
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
Носитель
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]}
Плотность вероятности
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
Функция распределения
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
Математическое ожидание
α
α
+
β
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
Мода
α
−
1
α
+
β
−
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}
для
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}
Дисперсия
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}
Коэффициент асимметрии
2
(
β
−
α
)
α
+
β
+
1
(
α
+
β
+
2
)
α
β
{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
Коэффициент эксцесса
6
α
3
−
α
2
(
2
β
−
1
)
+
β
2
(
β
+
1
)
−
2
α
β
(
β
+
2
)
α
β
(
α
+
β
+
2
)
(
α
+
β
+
3
)
{\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}
Производящая функция моментов
1
+
∑
k
=
1
∞
(
∏
r
=
0
k
−
1
α
+
r
α
+
β
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
Характеристическая функция
1
F
1
(
α
;
α
+
β
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}
Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений . Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
Просмотров: 67 220
390
7 825
101 023
40 069
Нормальное Распределение за 6 Минут
Расчет апостериорного распределения. Пример 1
Базисная фармакология бета-лактамов. Часть 2
Лекция 8. Линейная регрессия
Содержание
Определение
Пусть распределение случайной величины
X
{\displaystyle X}
задаётся плотностью вероятности
f
X
{\displaystyle f_{X}}
, имеющей вид:
f
X
(
x
)
=
1
B
(
α
,
β
)
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
{\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}
,
где
α
,
β
>
0
{\displaystyle \alpha ,\beta >0}
произвольные фиксированные параметры, и
B
(
α
,
β
)
=
∫
0
1
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
d
x
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}
— бета-функция .
Тогда случайная величина
X
{\displaystyle X}
имеет бета-распределение. Пишут:
X
∼
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}
.
Форма графика
Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров
α
{\displaystyle \alpha }
и
β
{\displaystyle \beta }
.
α
<
1
,
β
<
1
{\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}
— график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
α
<
1
,
β
≥
1
{\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}
или
α
=
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1}
— график строго убывающий (синяя кривая)
α
=
1
,
β
>
2
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2}
— график строго выпуклый;
α
=
1
,
β
=
2
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2}
— график является прямой линией;
α
=
1
,
1
<
β
<
2
{\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2}
— график строго вогнутый ;
α
=
1
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}
график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения ;
α
=
1
,
β
<
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1}
или
α
>
1
,
β
≤
1
{\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}
— график строго возрастающий (зелёная кривая);
α
>
2
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1}
— график строго выпуклый;
α
=
2
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1}
— график является прямой линией;
1
<
α
<
2
,
β
=
1
{\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1}
— график строго вогнутый;
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}
— график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)
В случае, когда
α
=
β
{\displaystyle \alpha =\beta }
, плотность вероятности симметрична относительно
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
(красная и пурпурная кривые), то есть
f
X
(
1
/
2
−
x
)
=
f
X
(
1
/
2
+
x
)
,
x
∈
[
0
,
1
/
2
]
{\displaystyle f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]}
.
Моменты
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
X
{\displaystyle X}
, имеющей бета-распределение, имеют вид:
E
[
X
]
=
α
α
+
β
{\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
,
D
[
X
]
=
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}
.
Связь с другими распределениями
Бета-распределение является распределением Пирсона типа I[1] .
Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:
U
[
0
,
1
]
≡
B
(
1
,
1
)
{\displaystyle \mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)}
.
Бета-распределение широко используется в байесовской статистике , так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли , биномиального и геометрического распределений.
Если
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
— независимые гамма-распределённые случайные величины, причём
X
∼
Γ
(
α
,
1
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)}
, а
Y
∼
Γ
(
β
,
1
)
{\displaystyle Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)}
, то
X
X
+
Y
∼
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}
.
Примечания
Литература
Королюк В.С. , Портенко Н.И.,Скороход А.В. , Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М. : Наука, 1985. — 640 с.
Дискретные Абсолютно непрерывные
Эта страница в последний раз была отредактирована 26 апреля 2023 в 07:43.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.