Признак Бертрана

Признак Бертрана (де Моргана — Бертрана) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1842 году Жозефом Бертраном^[1]. В своём выводе Бертран ссылается на труд Огастеса де Моргана «The Differential and Integral Calculus», изданный в 1839 году.

Формулировка

Если существует такое ${\displaystyle \delta >0}$, что, начиная с некоторого номера ${\displaystyle n}$, выполняется неравенство

${\displaystyle B_{n}=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\geqslant 1+\delta ,}$

то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится.

Если же ${\displaystyle B_{n}\leqslant 1}$, начиная с некоторого ${\displaystyle n}$, то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }B_{n}}$

то при ${\displaystyle B>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle B<1}$ — расходится.

Замечание. Если ${\displaystyle B=1}$, то признак Бертрана не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Признак Бертрана чувствительнее признака Раабе и может быть использован для крайне медленно сходящихся рядов.

См. также

• Признак Раабе

Примечания

Литература

• Бертрана признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Bertrand's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• http://vuz.exponenta.ru/PDF/raabe.html

Эта страница в последний раз была отредактирована 30 января 2022 в 19:34.