Признак Раабе

Признак Раабе (признак Раабе — Дюамеля) — признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный в 1832 году Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe)^[1] и независимо в 1839 году Жан-Мари Дюамелем^[2].

Формулировка

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится, если при достаточно больших $n$ выполняется неравенство

$R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\geqslant r,$

где $r>1$ .
Eсли $R_{n}\leqslant 1$ , начиная с некоторого $n$ , то ряд $a_{n}$ расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

$R=\lim _{n\to \infty }R_{n}$

то при $R>1$ ряд сходится, а при $R<1$ — расходится.

Замечание. Если $R=1$ , то признак Раабе не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Доказательство основано на применении признака сравнения отношений при сравнении с обобщённым гармоническим рядом.

Пример

Для $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$ признак в предельной форме дает 2, что означает сходимость ряда.

См. также

Признак сходимости д’Аламбера — аналогичный признак, основанный на отношении соседних членов.

Примечания

↑ J.L. Raabe. Untersuchungen uber die Convergenz und Divergenz der Reihen (нем.) // Zeitschrift f¨ur Physik und Mathematik. — 1832. — Bd. 10. — S. 41-74.
↑ M. Duhamel. Nouvelle règle pour la convergence des séries (фр.) // J. de mathématiques pures et appliquées. — 1839. — Vol. 4. — P. 214-221.

Литература

Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу : Учебник университетов и пед. вузов / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. — ISBN 5-06-003596-4..
И. М. Виноградов. Раабе признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Raabe's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича

Эта страница в последний раз была отредактирована 30 января 2022 в 19:22.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание