Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году[1].
Доказательство
При n = 2
Количество доказательств этого неравенства на данный момент сравнимо, наверное, только с количеством доказательств теоремы Пифагора. Приведем красивое геометрическое доказательство для случая . Пускай нам даны два отрезка длины и . Тогда построим окружность диаметром (см. рис. 1). От одного из концов диаметра отметим точку на расстоянии . Проведем через эту точку перпендикуляр к диаметру; полученная прямая пересечет окружность в двух точках, и . Рассмотрим полученную хорду. Треугольник прямоугольный, так как угол — вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, а значит, прямой. Итак, — высота треугольника , а высота в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое двух сегментов гипотенузы. Значит, . Аналогично, из треугольника получаем, что , поэтому . Так как — хорда окружности с диаметром , а хорда не превосходит диаметра, то получаем, что , или же . Заметим, что равенство будет тогда, когда хорда будет совпадать с диаметром, то есть при .
Алгебраическое же доказательство может быть построено следующим образом:
Отметим, что первый переход равносилен в силу неотрицательности и .
При n = 4
Достаточно положить , а также . Нетрудно видеть, в силу доказанного, что
.
По индукции с обратным шагом
Очевидно, переход от 2 к 4 по индукции влечёт за собой справедливость неравенства для , причём для интересующего нас найдётся . Полагая неравенство верным для , докажем его справедливость для . Для этого достаточно положить , тогда
По принципу индукции приведённое доказательство верно также и для .
Прямое доказательство
Поделим обе части неравенства на и произведем замену . Тогда при условиях необходимо доказать, что (1).
Нужно доказать, что если , то . Воспользуемся неравенством (1), которое по предположению индукции считаем доказанным для . Пусть , причем выберем из последовательности () такие два члена, что , (такие точно существуют, т.к. ). Тогда выполнены оба условия и предполагается доказанным неравенство или . Теперь заменим на . Это возможно сделать в силу того, что или , что, очевидно выполняется, так как . Таким образом, неравенство доказано.
Доказательство при помощи неравенства Бернулли
Воспользуемся методом математической индукции. Пусть неравенство доказано для чисел. Докажем его для числа.
Пусть, без ограничения общности, ― наибольшее из чисел .
Сделаем замену .
Тогда для некоторого .
, что и требовалось.
Здесь переход (1) был сделан по неравенству Бернулли, а переход (2) ― по предположению индукции.
Отражение в культуре
Эпизод с доказательством, что среднее арифметическое больше среднего геометрического, присутствует в одной из сцен кинофильма «Сердца четырёх» 1941 года.