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Kelly Slayton
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Alexander Grigorievskiy
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En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.
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Demostración de que la media geométrica es menor que la aritmética
Desigualdades – Aula 6 – Desigualdade das Médias Aritmética e Geométrica (MA-MG)
RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARMÓNICA, GEOMÉTRICA Y ARITMÉTICA, GUÍA 4, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA I
LA PARABOLA - DEMOSTRACION GEOMETRICA DE LA DESIGUALDAD MEDIA ARITMETICA, GEOMETRICA Y ARMONICA
Media Geométrica, aritmética y armónica
Transcription
Media aritmética y media geométrica
La media aritmética de un conjunto de números reales es igual a la suma dividida por el número total de elementos,
La media geométrica de un conjunto de reales no negativos , es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:
La desigualdad
Sea entonces
La igualdad se cumple si y sólo si .
Demostración por inducción
Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollará por una variante del método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy).
Sea un conjunto de n elementos.
Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:
Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.
Siguiendo la hipótesis,
Se sigue que,
Siendo esto igual a,
Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.
Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos,
Sean y
Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,
Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,
Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.
Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de cálculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0