Необходи́мое усло́вие и доста́точное усло́вие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.
Необходимое условие
Если импликация является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания является необходимым условием для истинности высказывания [1][2].
Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.
Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.
Достаточное условие
Если импликация является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания является достаточным условием для истинности высказывания [1][2].
Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение B является истинным.
Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком принадлежности классу M.
Необходимое и достаточное условие
Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны, и обозначают или .
Это следует из тождественно истинной формулы, связывающей импликацию и операцию эквиваленции[3]:
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.
Вышеперечисленные утверждения о необходимом и достаточном условиях можно наглядно продемонтрировать пользуясь таблицей истинности логических выражений.
Рассмотрим случаи, когда импликация истинна. Действительно, если суждение является необходимым условием для суждения , то обязано быть истинно для истинности импликации, в то же время, суждение является достаточным условием суждения значит, что если истинно , то обязано быть истинным.
Аналогичные рассуждения работают и обратном случае, когда суждение является необходимым условием для суждения и суждение является достаточным условием суждения .
Если является необходимым и достаточным условием , как видно из таблицы истинности, оба суждения обязаны быть истинны или оба суждения обязаны быть ложными.
A | B | |||
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Пример
Суждение X: «Вася получает стипендию».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся».
Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».
Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.
Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.
В импликации A → B
A — это достаточное условие для B
B — это необходимое условие для A
См. также
Ссылки
- Видео о необходимом и достаточном условиях
- "Необходимость и достаточность" в учебнике MathIt
Примечания
- ↑ 1 2 Эдельман, 1975, с. 30.
- ↑ 1 2 Гиндикин, 1972, с. 21.
- ↑ Эдельман, 1975, с. 26.
Литература
- Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
- Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
