Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Логика второго порядка

Из Википедии — свободной энциклопедии

Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка[1] возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами и функциональными символами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.

Язык и синтаксис

Формальные языки логики второго порядка строятся на основе множества функциональных символов и множества предикатных символов . С каждым функциональным и предикатным символом связана арность (число аргументов). Также используются дополнительные символы

  • Символы индивидуальных переменных, обычно и т. д.
  • Символы функциональных переменных и т. д. Каждой функциональной переменной соответствует некоторое положительное число — арность функции.
  • Символы предикатных переменных и т. д. Каждой предикатной переменной соответствует некоторое положительное число — арность предиката.
  • Пропозициональные связи: ,
  • Кванторы общности и существования ,
  • Служебные символы: скобки и запятая.

Перечисленные символы вместе с символами и образуют алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно.

  • Терм — это символ индивидуальной переменной, либо выражение, которое имеет вид , где  — функциональный символ арности , а  — термы либо выражение вида , где  — функциональная переменная арности , а  — термы.
  • Атом — имеет вид , где  — предикатный символ арности , а  — термы или , где  — предикатная переменная арности , а  — термы.
  • Формула — это или атом, или одна из следующих конструкций: , где  — формулы, а  — индивидуальная, функциональная и предикатная переменные. (Конструкции являются формулами второго и не первого порядка).

Аксиоматика и доказательство формул

Семантика

В классической логике интерпретация формул логики второго порядка задаётся на модели второго порядка, которая определяется следующими данными.

  • Базовое множество ,
  • Семантическая функция , которая отображает
    • каждый -арный функциональный символ из в -арную функцию ,
    • каждый -арный предикатный символ из в -арное отношение .

Свойства

В отличие от логики первого порядка, логика второго порядка не имеет свойств полноты и компактности. Также в этой логике является неверным утверждение теоремы Лёвенгейма — Скулема.

Примечания

  1. Shapiro (1991) and Hinman (2005) give complete introductions to the subject, with full definitions.

Литература

  1. Henkin, L. (1950). «Completeness in the theory of types». Journal of Symbolic Logic 15 (2): 81-91.
  2. Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
  3. Shapiro, S. (2000). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-825029-0.
  4. Rossberg, M. (2004). «First-Order Logic, Second-Order Logic, and Completeness». in V. Hendricks et al., eds.. First-order logic revisited. Berlin: Logos-Verlag.
  5. Vaananen, J. (2001). «Second-Order Logic and Foundations of Mathematics». Bulletin of Symbolic Logic 7 (4): 504—520.
Эта страница в последний раз была отредактирована 14 января 2021 в 20:52.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).