Электромагнитный тензор энергии-импульса

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

В релятивистской физике электромагнитный тензор энергии-импульса является вкладом в тензор энергии-импульса обусловленный электромагнитным полем. ^[1] Тензор энергии-импульса описывает поток энергии и импульса в пространстве-времени. Электромагнитный тензор энергии-импульса содержит отрицательное значение классического тензора напряжений Максвелла, который регулирует электромагнитные взаимодействия.

Определение

В единицах СИ

В свободном пространстве и плоском пространстве-времени тензор электромагнитной энергии-импульса в единицах СИ равен ^[1]

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$

где ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ – электромагнитный тензор и где ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ есть метрический тензор Минковского метрической сигнатуры (− + + +) . При использовании метрики с сигнатурой (+ − − −) выражение справа от знака равенства будет иметь противоположный знак.

Явно в матричной форме:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}$

где

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$

— вектор Пойнтинга,

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$

– тензор напряжений Максвелла, c – скорость света. Таким образом, ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ выражается и измеряется в единицах давления СИ (паскалях).

Условные обозначения единиц СГС

Диэлектрическая проницаемость свободного пространства и магнитная проницаемость свободного пространства в единицах СГС-Гаусса равны

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}$

тогда:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$

и в явной матричной форме:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}}$

где вектор Пойнтинга принимает вид:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$

Тензор энергии-импульса для электромагнитного поля в диэлектрической среде менее изучен и является предметом неразрешенного спора Абрахама-Минковского.^[2]

Элемент ${\displaystyle T^{\mu \nu }\!}$ тензора энергии-импульса представляет собой поток µ-й компоненты четырёхимпульса электромагнитного поля, ${\displaystyle P^{\mu }\!}$, проходящий через гиперплоскость (${\displaystyle x^{\nu }}$ является постоянным). Он представляет собой вклад электромагнетизма в источник гравитационного поля (искривление пространства-времени) в общей теории относительности.

Алгебраические свойства

Электромагнитный тензор энергии-импульса обладает несколькими алгебраическими свойствами:

• Он является симметричным тензором:
  $${\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}$$

  

• Тензор ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\alpha }}$ бесследен:
  $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.}$$

  

Доказательство

Начиная с

$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=\eta _{\mu \nu }T^{\mu \nu },}$$

используем явную форму тензора,

$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].}$$

Снижение индексов и использование того, что ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }}$

$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].}$$

Затем, используя ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$,

$${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].}$$

Обратите внимание, что в первом выражении μ, α и просто фиктивные индексы, поэтому мы переименовываем их в α и β, соответственно.

$${\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0.}$$

■

• Плотность энергии положительно-определённая:
  $${\displaystyle T^{00}\geq 0}$$

  

Симметрия тензора такая же, как у общего тензора энергии-импульса в общей теории относительности. След тензора энергии-импульса есть скаляр Лоренца; электромагнитное поле (и, в частности, электромагнитные волны) не имеет лоренц-инвариантной энергетической шкалы, поэтому его тензор энергии-импульса должен иметь исчезающий след. Эта бесследность в конечном счёте связана с безмассовостью фотона . ^[3]

Законы сохранения

Электромагнитный тензор энергии-импульса позволяет компактно записать законы сохранения линейного количества движения и энергии в электромагнетизме. Дивергенция тензора энергии-импульса:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}$

где ${\displaystyle f_{\rho }}$ - (4D) сила Лоренца на единицу объема вещества .

Это уравнение эквивалентно следующим трёхмерным законам сохранения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}}$

соответственно, описывая поток плотности электромагнитной энергии

${\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}$

и плотность электромагнитного импульса

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}$

где J — плотность электрического тока, ρ — плотность электрического заряда, ${\displaystyle \mathbf {f} }$ - плотность силы Лоренца.

Смотрите также

• Исчисление Риччи
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Математические описания электромагнитного поля
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Максвелла в искривлённом пространстве-времени
• Общая теория относительности
• Уравнения поля Эйнштейна
• Магнитогидродинамика
• Векторное исчисление

Примечания

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 11 октября 2022 в 23:27.