Электромагнитный потенциал

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

• Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего ${\displaystyle A_{i}}$ или ${\displaystyle \varphi _{i}}$, что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}}$ или ${\displaystyle \varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}}$, причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
• В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал ${\displaystyle (A_{0},\ A_{1},\ A_{2},\ A_{3})}$ распадается^[1] на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал ${\displaystyle \varphi \equiv A_{0}}$ и трехмерный векторный потенциал ${\displaystyle {\vec {A}}\equiv (A_{x},A_{y},A_{z})\equiv (-A_{1},-A_{2},-A_{3})}$; эти потенциалы ${\displaystyle \varphi \ }$ и ${\displaystyle {\vec {A}}}$ и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через ${\displaystyle \varphi }$, называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция)^[2] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях^[3]:

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}},}$

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},}$

где ${\displaystyle {\vec {E}}}$ — напряжённость электрического поля, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля), ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, причём ${\displaystyle \nabla \varphi \equiv \mathrm {grad} \,\varphi }$ — градиент скалярного потенциала, а ${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}\equiv \mathrm {rot} \,{\vec {A}}}$ — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },}$

где ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты ${\displaystyle E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}}$.

Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}}$ преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

С использованием электромагнитного потенциала можно записать добавку ${\displaystyle \Delta S}$ к действию S для заряженной частицы^[4], вызванную её взаимодействием с электромагнитным полем:

${\displaystyle \Delta S=-\int A_{\mu }j^{\mu }\,dxdydzdt}$

или

${\displaystyle \Delta S=-\int qA_{\mu }u^{\mu }\,d\tau =-{\frac {1}{c}}\int qA_{\mu }\,dx^{\mu }=\int (-q\varphi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c)\,dt}$

(первая форма удобна для вывода уравнений поля (с источниками), а вторая — для вывода уравнения движения заряженной частицы); здесь ${\displaystyle q}$ — заряд частицы, ${\displaystyle u^{i}}$ — 4-скорость, ${\displaystyle d\tau }$ — дифференциал собственного времени (интервала вдоль траектории частицы, деленного на ${\displaystyle c}$), ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — трёхмерная скорость, ${\displaystyle c}$ — скорость света, а ${\displaystyle dx^{\mu }=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx,\;dy,\;dz)}$ — четырёхмерные пространственно-временные координаты частицы.

Физический смысл

Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу ${\displaystyle \Phi }$ волновой функции частицы:

${\displaystyle \Delta \Phi =-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{\mu }dx^{\mu }=-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{\mu }u^{\mu }d\tau }$,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя ${\displaystyle 1/\hbar }$, а в системе единиц, где редуцированная постоянная Планка ${\displaystyle \hbar =1,}$ обе формулы совпадают). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге интерференционных полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова — Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

См. также

• Электростатический потенциал
• Векторный потенциал

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 11 ноября 2023 в 18:42.