Рядом Дирихле называется ряд вида
![\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {a_{n}}{n^{s}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48e660ea6df361144a0bbe2ec181d6458742722)
где s и an — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .
Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число
, что при
он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число
, что при
ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение
(если
и
конечны).
Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами ряда Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле.
Ряд назван в честь Густава Дирихле.
Энциклопедичный YouTube
-
1/5
Просмотров:19 109
694
1 396
799
25 261
-
Числовые ряды-9. Сходимость и расходимость ряда Дирихле
-
Интегральный признак Коши. Ряд Дирихле
-
Комплексные ряды, сходимость и расходимость
-
Видеоурок "Сходимость знакочередующихся рядов"
-
Математический анализ, 36 урок, Достаточные признаки сходимости
Сходимость в разных точках
Если некоторый ряд сходится в комплексной точке
, то этот же ряд сходится в любой точке
, для которой
. Из этого следует, что существует некоторая точка
такая, что при
ряд сходится, а при
— расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.
Абсциссой абсолютной сходимости для ряда
называется точка
такая, что при
ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что
.
Поведение функции при
может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка
является особой для некоторого ряда Дирихле, если
— его абсцисса сходимости.
Примеры
- При
где
— дзета-функция Римана.
, где
— функция Мёбиуса
, где
— функция Лиувиля
, где
— число делителей числа ![\displaystyle n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb28c3cfea72f4c3e40c63ec29a4f8f36a9c47ab)
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c407fd8b196eab2478ceb72f87ef32a0859a5c4a)
, где
— число простых делителей числа ![\displaystyle n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb28c3cfea72f4c3e40c63ec29a4f8f36a9c47ab)
![{\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52c3992c1c94941c056d38bd3b793cca428f9e1c)
![{\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073a668622217f878a849db857682774c2e63c86)
- При
где
— L-функция Дирихле.
где Lis(z) — полилогарифм.
Гармонический ряд
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5a996f76c9c9368c26c38e3ed0f65750b0f595)
расходится.
Эта страница в последний раз была отредактирована 19 июня 2023 в 07:59.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.