Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.
Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Функциональная последовательность

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве , включённом в d-мерное евклидово пространство .

Поточечная сходимость

Функциональная последовательность сходится поточечно к функции , если .

Равномерная сходимость

Существует функция такая, что:

Факт равномерной сходимости последовательности к функции записывается:

Функциональный ряд

 — n-ная частичная сумма.

Сходимость

В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности, суммы бесконечного ряда, значения у несобственного интеграла, значения у бесконечного произведения.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости ряда

при

Или, что эквивалентно , где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций , определённых на множестве , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого , начиная с некоторого номера , при всех , больше либо равных , одновременно для всех значения функций и различались не более, чем на .

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд сходится, а расходится, то ряд называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

  1. Ряд сходится равномерно.

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак Дирихле

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций монотонна и
  2. Частичные суммы равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

  1. Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .
  2. Ряд равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Теоремы о непрерывности

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность
функция непрерывна в точке
Тогда непрерывна в .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд
функция непрерывна в точке
Тогда непрерывна в .

Теоремы об интегрировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

функция непрерывна на отрезке
на
Тогда числовая последовательность сходится к конечному пределу .

Теорема о почленном интегрировании.

функция непрерывна на отрезке
на
Тогда числовой ряд сходится и равен .

Теоремы о дифференцировании

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

функция дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке
сходится (к конечному пределу)
на отрезке
Тогда  — дифференцируема на , на

Теорема о почленном дифференцировании.

функция дифференцируема на отрезке
сходится
равномерно сходится на отрезке
Тогда  — дифференцируема на , на

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 30 июля 2021 в 16:41.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).