Полярное преобразование кривой

Рассмотрим на исходной кривой две точки ${\displaystyle z_{1}(t)}$ и ${\displaystyle z_{2}(t)}$. Их поляры соответственно ${\displaystyle Z_{1}(t)}$ и ${\displaystyle Z_{2}(t)}$ пересекаются в точке

${\displaystyle Z(t)={\frac {2(z_{2}(t)-z_{1}(t))}{{\overline {z_{1}(t)}}z_{2}(t)-z_{1}(t){\overline {z_{2}(t)}}}}.}$

Пусть точка ${\displaystyle z_{2}(t)}$ стремится к точке ${\displaystyle z_{1}(t)}$, тогда:

• прямая ${\displaystyle z_{1}(t)z_{2}(t)}$ стремится к своему предельному положению — касательной к исходной кривой ${\displaystyle z(t)}$;
• точка пересечения поляр ${\displaystyle Z_{1}(t)}$ и ${\displaystyle Z_{2}(t)}$ стремится к предельной точке, которая по определению есть точка полярно преобразованной исходной кривой.

Пусть теперь бесконечно малая величина ${\displaystyle z_{2}(t)-z_{1}(t)=dz_{1}(t)}$, тогда

${\displaystyle {\overline {z_{1}(t)}}z_{2}(t)-z_{1}(t){\overline {z_{2}(t)}}=}$

${\displaystyle {}={\overline {z_{1}(t)}}(z_{1}(t)+dz_{1}(t))-z_{1}(t)({\overline {z_{1}(t)}}+d{\overline {z_{1}(t)}})=}$

${\displaystyle {}={\overline {z_{1}(t)}}dz_{1}(t)-z_{1}(t)d{\overline {z(t)}}.}$

Отсюда получаем уравнение точки полярно преобразованной кривой

${\displaystyle Z(t)={\frac {2dz_{1}(t)}{{\overline {z_{1}(t)}}dz_{1}(t)-z_{1}(t)d{\overline {z(t)}}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {2z_{1}'(t)}{{\overline {z_{1}(t)}}z_{1}'(t)-z_{1}(t){\overline {z_{1}'(t)}}}}.}$

1. Фиолетовая база преобразований. База преобразований состоит из точки и окружности с центром в этой точке.

• Фиолетовая точка ${\displaystyle (0,\,0)}$ на декартовой координатной плоскости ${\displaystyle (x,\,y)}$ — это:

• начало координат;
• полюс полярного преобразования окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=16;}$
• фокус красной гиперболы;
• полюс двух подерных преобразований;
• полюс двух инверсий.

• Фиолетова тонкая базовая окружность ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=16}$ с центром в начале координат ${\displaystyle (0,\,0)}$ и радиусом ${\displaystyle 4}$ — это:

• окружность полярного преобразования;
• окружность двух инверсий.

2. Чёрная исходная окружность полярного преобразования. Исходная окружность полярного преобразования ${\displaystyle (x-8)^{2}+y^{2}=4}$ показана чёрным цветом и имеет центр ${\displaystyle (8,\,0)}$ и радиус ${\displaystyle 2}$. На ней отмечены следующие точки.

• Правая крайняя синяя точка ${\displaystyle (10,\,0)}$ окружности — это:

• точка касания вертикальной прямой ${\displaystyle x=10}$;
• неподвижная точка подерного преобразования, переводящего чёрную окружность в синюю улитку Паскаля;
• начало касательных к базовой окружности.

• Левая крайняя синяя точка ${\displaystyle (6,\,0)}$ окружности — это:

• точка касания вертикальной прямой ${\displaystyle x=6}$;
• неподвижная точка подерного преобразования, переводящего чёрную окружность в синюю улитку Паскаля;
• начало касательных к базовой окружности.

• Чёрные точки ${\displaystyle \left({\frac {15}{2}},\,{\frac {\sqrt {15}}{2}}\right)}$ на верхней и нижней полуокружностях — это точки касания прямых, проходящих через начало координат. Эти точки рассчитываются как пересечение касательных и окружности, то есть как совместное решение их уравнений.

3. Красная гипербола. Прямые, с помощью которых строилась гипербола как полярное преобразование окружности, следующие.

• Две вертикальные прямые ${\displaystyle x={\frac {16}{10}}}$ и ${\displaystyle x={\frac {16}{6}}}$ — это поляры соответственно синих точек ${\displaystyle (10,\,0)}$ и ${\displaystyle (6,\,0)}$, то есть касательные к двум вершинам ветвей гиперболы. Координаты этих двух зелёных точек получаются из формулы инверсии. Эти две зелёные вершины гиперболы ${\displaystyle \left({\frac {8}{5}},\,0\right)}$ и ${\displaystyle \left({\frac {8}{3}},\,0\right)}$ определяют большую полуось гиперболы ${\displaystyle a={\frac {8}{15}}}$ и центр гиперболы ${\displaystyle \left({\frac {32}{15}},\,0\right)}$.

• Четыре прямые, используя которые, можно построить поляры, если нет координат, — это касательные прямые ${\displaystyle y^{2}-{\frac {4}{21}}\left(x-10\right)^{2}=0}$ и ${\displaystyle y^{2}-{\frac {4}{5}}\left(x-6\right)^{2}=0}$ к фиолетовой базовой окружности, проведённые из точек соответственно ${\displaystyle (10,\,0)}$ и ${\displaystyle (6,\,0)}$. Фиолетовые точки касания — это точки пересечения поляр с базовой окружностью. Угловые коэффициенты касательных рассчитываются по прямоугольным треугольникам, у которых один из катетов — это радиус базовой окружности (не нарисованы).

• Две касательные прямые ${\displaystyle y^{2}-{\frac {1}{15}}x^{2}=0}$ к чёрной исходной окружности проведены из начала координат ${\displaystyle (0,\,0)}$. Их уравнения получаются аналогично тому, как описано выше в предыдущем абзаце. Две асимптоты гиперболы ${\displaystyle y^{2}-15\left(x-{\frac {32}{15}}\right)^{2}=0}$ с угловым коэффициентом ${\displaystyle k={\sqrt {15}}}$ перпендикулярны этим касательным и проходят через центр гиперболы ${\displaystyle \left({\frac {32}{15}},\,0\right)}$. Уравнение гиперболы с фокусом в начале координат ${\displaystyle (0,\,0)}$ есть ${\displaystyle \left({\frac {15}{8}}\right)^{2}\left(x-{\frac {32}{15}}\right)^{2}-{\frac {15}{64}}y^{2}=1}$, поскольку сопряжённая полуось гиперболы вычисляется по формуле ${\displaystyle b=ak.}$

4. Синяя улитка Паскаля. Уравнение синей улитки Паскаля${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-8x\right)^{2}=4\left(x^{2}+y^{2}\right),}$ подеры чёрной исходной окружности, получено из общего уравнения, имеющего двойную точку в начале координат ${\displaystyle (0,\,0)}$ и симметрию относительно оси ${\displaystyle x}$, подстановкой координат двух синих точек ${\displaystyle (10,\,0)}$ и ${\displaystyle (6,\,0)}$ — неподвижных точек подерного преобразования. Улитка Паскаля проходит также через четыре красные точки пересечения базовой фиолетовой окружности с красной параболой, поскольку улитка Паскаля — инверсия параболы и наоборот, а красные точки — неподвижные точки инверсии.

• На синей улитке Паскаля есть две чёрные точки. По определению подеры, чёрная точка пересечения касательной ${\displaystyle y=2}$ к чёрной базовой окружности и перпендикулярной к ней прямой ${\displaystyle x=0}$, проходящей через полюс подеры ${\displaystyle (0,\,0)}$, лежит на улитке Паскаля. Также прямая ${\displaystyle y=-x+8+2{\sqrt {2}}}$, образующей угол ${\displaystyle -{\frac {\pi }{4}}}$ с горизонтальной осью ${\displaystyle x}$ и касающейся чёрной базовой окружности, пересекается с перпендикулярной к ней прямой ${\displaystyle y=x}$ в чёрной точке на улитке Паскаля.

5. Зелёная окружность. Зелёная окружность ${\displaystyle \left(x-{\frac {32}{15}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {8}{15}}\right)^{2}}$, как подера красной гиперболы и инверсия чёрной базовой окружности, проходит через две зелёные точки — вершины гиперболы, а таже касается касательных прямых к базовой окружности, проходящих через полюс инверсии ${\displaystyle (0,\,0)}$.

Выполним полярное преобразования второй раз, то есть найдём

${\displaystyle z={\frac {2Z'}{{\bar {Z}}Z'-Z{\overline {Z'}}}}.}$

Исходя из уравнения полярного преобразования кривой

${\displaystyle Z={\frac {2z'}{{\bar {z}}z'-z{\overline {z'}}}},}$

вычислим следующие выражения:

${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {2{\overline {z'}}}{z{\overline {z'}}-{\bar {z}}z'}},}$

${\displaystyle Z'={\frac {2z''}{{\bar {z}}z'-z{\overline {z'}}}}-{\frac {2z'({\bar {z}}z''-z{\overline {z''}})}{({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{2}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {2z''{\bar {z}}z'-2z''z{\overline {z'}}-2z'{\bar {z}}z''+2z'z{\overline {z''}})}{({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{2}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {2z(z'{\overline {z''}}-z''{\overline {z'}})}{({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{2}}},}$

${\displaystyle {\overline {Z'}}={\frac {2{\bar {z}}({\overline {z'}}z''-{\overline {z''}}z')}{(z{\overline {z'}}-{\bar {z}}z')^{2}}},}$

${\displaystyle {\bar {Z}}Z'={\frac {4{\overline {z'}}z(z'{\overline {z''}}-z''{\overline {z'}})}{-({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{3}}},}$

${\displaystyle Z{\overline {Z'}}={\frac {4z'{\bar {z}}({\overline {z'}}z''-{\overline {z''}}z')}{({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{3}}},}$

${\displaystyle {\bar {Z}}Z'-Z{\overline {Z'}}={\frac {4{\overline {z'}}z(z'{\overline {z''}}-z''{\overline {z'}})+4z'{\bar {z}}({\overline {z'}}z''-{\overline {z''}}z')}{-({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{3}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {4(z'{\overline {z''}}-z''{\overline {z'}})({\overline {z'}}z-z'{\bar {z}})}{-({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{3}}}={\frac {4(z'{\overline {z''}}-z''{\overline {z'}})}{({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{2}}}.}$

${\displaystyle {\frac {2Z'}{{\bar {Z}}Z'-Z{\overline {Z'}}}}={\frac {4z(z'{\overline {z''}}-z''{\overline {z'}})}{({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{2}}}{\frac {({\bar {z}}z'-z{\overline {z'}})^{2}}{4(z'{\overline {z''}}-z''{\overline {z'}})}}=z.}$