Многогранники Ханнера — класс выпуклых многогранников, которые можно получить рекурсивно из отрезка при помощи двух операций: взятие прямого произведения и переход к двойственному многограннику.
Названы в честь Олофа Ханнера, который рассмотрел их в 1956 году.[1]
Построение
Многогранники Ханнера образуют минимальный класс многогранников, удовлетворяющий следующим условиям:[2]
- Отрезок прямой является одномерным многогранником Ханнера.
- Прямое произведение двух многогранников Ханнера является многогранником Ханнера. (Его размерность равна сумме размерностей двух исходных многогранников.)
- Многогранник двойственный к многограннику Ханнера является многогранником Ханнера. (Этот многогранник имеет ту же размерность, что и исходный.)
Замечания
- Вместо операции перехода к двойственному многограннику можно брать выпуклую оболочку объединения многогранников, находящихся в перпендикулярных подпространствах.[3][4]
Примеры
- Квадрат — это многогранник Ханнера как прямое произведение двух отрезков.
- Куб — это многогранник Ханнера как прямое произведение трех отрезков.
- Октаэдр — также многогранник Ханнера как многогранник, двойственный к кубу.
В размерности три любой многогранник Ханнера комбинаторно эквивалентен одному из этих двух видов многогранников.[5] В высших измерениях аналоги куба и октаэдра, гиперкубы и гипероктаэдры, также являются многогранниками Ханнера. Однако есть и другие примеры. В частности восьмигранная призма — четырёхмерная призма с основанием октаэдр. Она является многогранником Ханнера, как произведение октаэдра на отрезок.
Свойства
- Многогранники Ханнера центрально-симметричны.
- Любой многогранник Ханнера комбинаторно эквивалентен многограннику с координатами любой вершины, принимающей значения 0, 1 или −1.[6]
- Общее число граней -мерного многогранника Ханнера равно .
- -гипотеза Калая состоит в том, что это число минимально для центрально-симметричных многогранников.[3]
- Противоположные грани многогранника Ханнера не пересекаются, и вместе содержат все вершины многогранника.
- В частности, выпуклая оболочка двух таких граней есть весь многогранник.[6][7]
- Как следствие из этого факта, все грани многогранника Ханнера имеют одинаковое число вершин.
- Однако грани могут не быть изоморфны друг другу. Например, в восьмигранной призмы две грани октаэдра, а остальные восемь граней — треугольных призм.
- Как следствие из этого факта, все грани многогранника Ханнера имеют одинаковое число вершин.
- Двойственное свойство состоит в том, что противоположные вершины смежны со всеми гранями многогранника.
- В частности, выпуклая оболочка двух таких граней есть весь многогранник.[6][7]
- Объём Малера, то есть произведение объёмов самого многогранника и его двойственного, для многогранника Ханнера то же, что у куба.
- Гипотеза Малера состоит в том, что среди центрально-симметричных выпуклых тел этот объём достигает минимума на многогранниках Ханнера.[8]
- Число комбинаторных типов многогранников Ханнера размерности d такое же, как число последовательно-параллельных графов с d рёбрами.[4] Для d = 1, 2, 3, …, это последовательность A058387 в OEIS.
- 1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, …
Ссылки
- ↑ Hanner, Olof (1956), Intersections of translates of convex bodies, Mathematica Scandinavica Т. 4: 65–87.
- ↑ Freij, Ragnar (2012), Topics in algorithmic, enumerative and geometric combinatorics, Ph.D. thesis, Department of Mathematical Sciences, Chalmers Institute of Technology, <http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/156428.pdf> Архивная копия от 18 января 2021 на Wayback Machine.
- ↑ 1 2 Kalai, Gil (1989), The number of faces of centrally-symmetric polytopes, Graphs and Combinatorics Т. 5 (1): 389–391, DOI 10.1007/BF01788696.
- ↑ 1 2 Sanyal, Raman; Werner, Axel & Ziegler, Günter M. (2009), On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes, Discrete & Computational Geometry Т. 41 (2): 183–198, DOI 10.1007/s00454-008-9104-8/
- ↑ Kozachok, Marina (2012), Perfect prismatoids and the conjecture concerning with face numbers of centrally symmetric polytopes, Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A.D.Alexandrov (Yaroslavl, August 13-18, 2012), P.G. Demidov Yaroslavl State University, International B.N. Delaunay Laboratory, с. 46–49, <http://bsg.uniyar.ac.ru/sites/default/files/papers/Alexandrov2012Thesis.pdf#page=46> (недоступная ссылка).
- ↑ 1 2 Reisner, S. (1991), Certain Banach spaces associated with graphs and CL-spaces with 1-unconditional bases, Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 43 (1): 137–148, DOI 10.1112/jlms/s2-43.1.137.
- ↑ Martini, H.; Swanepoel, K. J. & de Wet, P. Oloff (2009), Absorbing angles, Steiner minimal trees, and antipodality, Journal of Optimization Theory and Applications Т. 143 (1): 149–157, DOI 10.1007/s10957-009-9552-1.
- ↑ Kim, Jaegil (2014), Minimal volume product near Hanner polytopes, Journal of Functional Analysis Т. 266 (4): 2360–2402, DOI 10.1016/j.jfa.2013.08.008.
Эта страница в последний раз была отредактирована 16 июля 2022 в 15:31.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.