В теории графов параллельно-последовательные графы — это графы с двумя различными вершинами, которые называются терминальными, образованные рекурсивно с помощью двух простых операций[1]. Эти графы могут быть использованы для моделирования последовательного и параллельного соединения электрических цепей.
Определение и терминология
В данном контексте понятие граф подразумевает мультиграф.
Существует несколько способов определения параллельно-последовательных графов. Следующее определение, в основном, базируется на определении Дэвида Эппштейна[англ.][2].
Графом с одной терминальной парой (ОТП) называется граф, у которого помечены две различные вершины s и t, называемые источником и стоком соответственно.
Параллельное соединение Pc = Pc(X,Y) двух непересекающихся ОТП графов X и Y — это граф с одной терминальной парой, созданный объединением графов X и Y при помощи слияния источников X и Y с образованием источника Pc и слиянием стоков X и Y с образованием стока графа Pc.
Последовательное соединение Sc = Sc(X,Y) двух непересекающихся ОТП графов X и Y — это ОТП-граф, созданный объединением графов X и Y путём слияния стока X с источником Y. Источник графа X становится источником Sc, а сток графа Y становится стоком Sc.
Параллельно-последовательный граф с одной терминальной парой (ППОТП граф) — это граф, который может быть получен в результате последовательных и параллельных соединений множества копий однорёберных графов K2 с назначенными терминальными вершинами.
Определение 1. Граф называется последовательно-параллельным, если он ППОТП и две его вершины помечены как источник и сток.
Аналогичным образом можно определить последовательно-параллельные орграфы, которые строятся из копий ориентированных графов с одной дугой, и в этом случае дуга направлена из источника в сток.
Альтернативное определение
Следующее определение даёт тот же класс графов[3].
Определение 2. Граф является последовательно-параллельным, если он может быть преобразован в граф K2 с помощью последовательности следующих операций:
- Заменяем пару параллельных рёбер одним ребром, сохраняя общие конечные вершины
- Заменяем пару рёбер, инцидентных ребру степени 2 одним ребром.
Свойства
Любой параллельно-последовательный граф имеет древесную ширину и ширину ветвления, не превосходящие 2[4]. В действительности граф имеет древесную ширину не более 2 тогда и только тогда, когда он имеет ширину ветвления максимум 2, а также тогда и только тогда, когда любая двусвязная компонента является параллельно-последовательным графом[5][6]. Максимальные параллельно-последовательные графы, графы, к которым нельзя добавить дополнительные рёбра без разрушения последовательно-параллельной структуры, — это в точности 2-деревья[англ.].
Параллельно-последовательные графы характеризуются отсутствием подграфа, гомеоморфного графу K4[4].
Параллельно-последовательные графы могут быть охарактеризованы их ушным разложением[2].
Исследования, вовлекающие параллельно-последовательные графы
Параллельно-последовательные графы могут быть распознаны за линейное время[7] и их параллельно-последовательные разложения могут быть построены также за линейное время.
Кроме моделирования некоторых типов электрических цепей, эти графы представляют интерес в теории вычислительной сложности, поскольку много стандартных задач на графах решаются в линейное время на ОТП-графах[8], включая поиск максимального паросочетания, максимального независимого множества, минимального доминирующего множества и гамильтонова дополнения. Некоторые из этих задач для графов общего вида NP-полны. Причиной этого является факт, что если ответы для этих задач известны для двух параллельно-последовательных графов, то можно быстро найти ответ для их последовательных и параллельных соединений.
Задача о последовательно-параллельных графах[англ.] относится к вопросу перечисления графов и спрашивает о числе параллельно-последовательных графов, которые могут быть образованы из заданного числа рёбер.
Обобщения
Обобщённые параллельно-последовательные графы (ОПП-графы) — это обобщение параллельно-последовательных графов[9], при котором графы имеют ту же алгоритмическую эффективность для упомянутых задач. Класс ОПП-графов включает параллельно-последовательные графы и внешнепланарные графы.
ОПП-графы могут быть определены добавлением в Определение 2 третьей операции удаления висящих вершин (вершин степени 1). Таким же образом к Определению 1 можно добавить следующую операциию.
- Слияние источников S = M(X,Y) двух ОТП-графов X и Y — это ОТП-граф, созданный из непересекающихся графов X и Y путём слияния источника X с источником Y. Источник и сток графа X становится источником и стоком P соответственно.
SPQR дерево — это структура, которая может быть определена для произвольного вершинно 2-связного графа. Структура имеет S узлов, аналогичных последовательному соединению в параллельно-последовательных графах, P узлов, аналогичных параллельному соединению параллельно-последовательных графов и R узлов, которые не соответствуют операциям параллельно-последовательных графов. 2-связный граф является параллельно-последовательным тогда и только тогда, когда нет R узлов в дереве SPQR.
См. также
Примечания
- ↑ Свами, Тхуласираман, 1984, с. 150, Упражнение 7.10.
- ↑ 1 2 Eppstein, 1992, с. 41–55.
- ↑ Duffin, 1965, с. 303–313.
- ↑ 1 2 Brandstädt, Le, Spinrad, 1999, с. 172-174.
- ↑ Bodlaender, 1998, с. 1–45.
- ↑ Hall, Oxley, Semple, Whittle, 2002, с. 148–171.
- ↑ Valdes, Tarjan, Lawler, 1982, с. 289–313.
- ↑ Takamizawa, Nishizeki, Saito, 1982, с. 623–641.
- ↑ Корниенко, 1984, с. 109-111.
Литература
- М. Свами, К. Тхуласираман. Графы, сети и алгоритмы. — М.: «Мир», 1984.
- Jacobo Valdes, Robert E. Tarjan, Eugene L. Lawler[англ.]. The recognition of series parallel digraphs // SIAM Journal on Computing. — 1982. — Т. 11, вып. 2. — doi:10.1137/0211023.
- Н.М. Корниенко. Комбинаторные алгоритмы на классе графов // Известия Национальной академии наук Беларуси СЕРИЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК. — 1984. — Вып. 3. — С. 109-111.
- David Eppstein. Parallel recognition of series-parallel graphs // Information and Computation. — 1992. — Т. 98, вып. 1. — С. 41–55. — doi:10.1016/0890-5401(92)90041-D.
- R. J. Duffin. Topology of Series-Parallel Networks // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1965. — Т. 10, вып. 2. — С. 303–313. — doi:10.1016/0022-247X(65)90125-3.
- Andreas Brandstädt, Van Bang Le, Jeremy P. Spinrad. Graph classes: a survey. — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. — Т. 3. — С. 172-174. — (SIAM Monographs on Discrete Mathematics. and Applications). — ISBN 978-0-898714-32-6.
- H. Bodlaender. A partial k-arboretum of graphs with bounded treewidth // Theoretical Computer Science. — 1998. — Т. 209, вып. 1–2. — С. 1–45. — doi:10.1016/S0304-3975(97)00228-4.
- Rhiannon Hall, James Oxley, Charles Semple, Geoff Whittle. On matroids of branch-width three // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 2002. — Т. 86, вып. 1. — С. 148–171. — doi:10.1006/jctb.2002.2120.
- K. Takamizawa, T. Nishizeki, N. Saito. Linear-time computability of combinatorial problems on series-parallel graphs // Journal of the ACM. — 1982. — Т. 29, вып. 3. — С. 623–641. — doi:10.1145/322326.322328.
Эта страница в последний раз была отредактирована 5 марта 2019 в 19:37.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.