Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой [2].

Варианты определения

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами[3][4].

  • Геометрическая фигура, являющаяся одновременно прямоугольником и ромбом.
  • Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
  • Прямоугольник, у которого диагонали равны
  • Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
  • Ромб, у которого два соседних угла равны.
  • Параллелограмм., у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
  • Параллелограмм., у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
  • Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства

Далее в этом разделе обозначает длину стороны квадрата, — длину диагонали, — радиус описанной окружности, — радиус вписанной окружности.

Периметр квадрата равен:

,

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали

Вписанная и описанная окружности

Вписанная и описанная окружности для квадрата
Вписанная и описанная окружности для квадрата

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь

Площадь квадрата
Площадь квадрата

Площадь квадрата равна

.

Из формулы связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства[5].

  1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
  2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Уравнение квадрата

К уравнению квадрата; здесь  R = 2 , x 0 = y 0 = 0 {\displaystyle R=2,x_{0}=y_{0}=0}
К уравнению квадрата; здесь

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде:

где — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна его диагональ равна а площадь квадрата равна

Математические проблемы

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сиж пор не имеет решения.

Пример квадрирования квадрата  112 × 112 {\displaystyle 112\times 112}
Пример квадрирования квадрата

Симметрия

Линии симметрии
Линии симметрии

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

  • одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
  • четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение

В математике

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике квадрат может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)[6].

Графы: K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Tetrahedron petrie.png

3-симплекс (3D)
3-simplex graph.svg

Орнаменты и паркеты

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Графика

Ряд символов имеют форму квадрата.

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

  • <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения

Многомерное пространство

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

Square on sphere.svg
Square on plane.svg
Square on hyperbolic plane.png
Построение квадрата с использованием циркуля и линейки
Построение квадрата с использованием циркуля и линейки
Складывание квадрата из произвольного куска бумаги
Складывание квадрата из произвольного куска бумаги

См. также

Примечания

  1. Квадрат // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 561. — 1600 с.
  2. Квадрат // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 776. — 1184 с.
  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  4. 1 2 Каплун, 2014, с. 171—173.
  5. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 117, 119. — 312 с. — ISBN 5-94057-171-9.
  6. Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с.

Литература

  • Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д: ООО "Феникс", 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 9 сентября 2021 в 13:44.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).