Весовая функция

Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Дискретные весовые функции

Общие определения

Дискретная весовая функция ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+}}$ — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений ${\displaystyle A}$, которое обычно конечно или счётно. Весовая функция ${\displaystyle w(a):=1}$ соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция ${\displaystyle f:A\to {\mathbb {R} }}$ определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle A}$ определяется как

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)}$;

в отличие от взвешенной суммы ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+}}$, определяемой как

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a)}$.

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

в виде взвешенного среднего арифметического

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда ^[1], если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия ${\displaystyle J}$ частные показатели качества ${\displaystyle x_{i}}$ нормируются (диапазон изменения ${\displaystyle [\min {x_{i}},\max {x_{i}}]}$ каждого из них приводится к отрезку ${\displaystyle [0,1]}$): ${\displaystyle x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}}$, а интегральный критерий рассчитывается как ${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}}$, чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$.

Статистика

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения ${\displaystyle f}$, измеренного как ${\displaystyle f_{i}}$ несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$, наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}$: результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/\sum w_{i}}$. В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями ${\displaystyle w_{i}}$.

Механика

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется ${\displaystyle n}$ объектов с весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$ на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$.

Непрерывные весовые функции

В случае непрерывных величин вес — положительная мера ${\displaystyle w(x)dx}$ в некотором домене ${\displaystyle \Omega }$, который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Здесь ${\displaystyle dx}$ — мера Лебега, а ${\displaystyle w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция ${\displaystyle w(x)}$ часто употребляется в понятии плотности.

Общие определения

Если ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

может быть дополнен взвешенным интегралом

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

Взвешенный объём

Если E — подмножество ${\displaystyle \Omega }$, то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx}$.

Взвешенное среднее

Если ${\displaystyle \Omega }$ имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

на взвешенное среднее

${\displaystyle {\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}}$

Скалярное произведение

Если ${\displaystyle f:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ и ${\displaystyle g:\Omega \to {\mathbb {R} }}$ — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}$

можно ввести взвешенное скалярное произведение

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)dx}$

(См. также ортогональность)

См. также

• Центр масс
• Численное интегрирование
• Ортогональность
• Среднее арифметическое взвешенное
• Взвешенный граф

Ссылки

1. ↑ Ватутин Э.И. Оценка качества разбиений параллельных управляющих алгоритмов на последовательные подалгоритмы с использованием весовой функции  (неопр.). Материалы межрегиональной научно-технической конференции «Интеллектуальные и информационные системы» (Интеллект-2005). Тула. С. 29–30. (2005). Архивировано 20 апреля 2012 года.

Эта страница в последний раз была отредактирована 1 ноября 2021 в 13:58.