Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

На диаграмме кругов Эйлера видно, что  A {\displaystyle A}  является подмножеством  B {\displaystyle B} , а  B {\displaystyle B}  является надмножеством  A . {\displaystyle A.}
На диаграмме кругов Эйлера видно, что является подмножеством , а является надмножеством

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

Определение

Множество называется подмножеством множества , если все элементы, принадлежащие , также принадлежат [1]. Формальное определение:

Существует две системы символических обозначений для подмножеств:

« является подмножеством (нестрогим)» обозначается « является строгим подмножеством » обозначается Примечание
Символ является аналогом , то есть в случае допускается равенство множеств;

символ является аналогом , то есть в случае в есть элементы, которых нет в .

Для понятия «(нестрогое) подмножество» используется более простой символ, так как оно считается более «фундаментальным».

Обе системы обозначений предусмотрены стандартом ISO 31-11, но используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

Множество называется надмно́жеством множества , если является подмножеством множества .

То, что является надмножеством множества , записывают , то есть

Множество всех подмножеств множества обозначается и называется булеаном.

Множества и называются равными , только когда они состоят из одних и тех же элементов, то есть и .[2]

Собственное и несобственное подмножество

Любое множество среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами, остальные подмножества называют собственными[3].

То есть, если мы хотим исключить само и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

множество является собственным подмножеством множества , только если и , .

Зарубежная литература

В зарубежной литературе несобственные подмножества в вышеуказанном смысле (само множество B и пустое множество) называют тривиальными, а собственные — нетривиальными, а термин «собственное подмножество» (proper subset) применяется в значении «строгое включение A в B» или «подмножество A, строго входящее в множество B, то есть такое, которому не принадлежит как минимум один элемент множества B», то есть здесь понятие «собственное подмножество» уже, наоборот, включает пустое множество.

В этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

множество является нетривиальным подмножеством множества , если является собственным подмножеством (proper subset) и .

Примеры

  • Множества являются подмножествами множества
  • Множества являются тривиальными (несобственными) подмножествами множества все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными.
  • Множества являются подмножествами множества
  • Пусть Тогда
  • Пусть . Тогда а также (то есть C не является ни строгим, ни нестрогим подмножеством A).

Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[4].

  • Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
    • Отношение подмножества рефлексивно:
    • Отношение подмножества антисимметрично:
    • Отношение подмножества транзитивно:
  • Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
  • Для любых трёх множеств и таких, что все из утверждений:
являются равносильными.[5]

Подмножества конечных множеств

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдётся таких подмножеств.

Примечания

  1. Биркгоф, 1976, с. 10.
  2. Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 11
  3. Подмножество. // Математический энциклопедический словарь. / ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 465
  4. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  5. Келли Дж. Общая топология. — М., Наука, 1981. — с. 16

Литература

  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0.
  • Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976. — 400 с.

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 20 сентября 2021 в 17:14.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).